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東京大学2002年前期数学第3問
todai_2002_math_3q.png

解説


体積の求積問題です。このような問題では対称性をチェックすることを怠ってはなりません。

まず,Sは球なので全方向に対称です。これに対して,Pを考えることになれば,Pの中心座標はどこでも同じであることがわかります(当然LもQもです)。しかし,条件式にAが入っているため,zだけ別で扱う必要が出てきます(Aの座標でzだけ別物なので)。
よって,考える図形などはx,yについて円と同等の対称性,つまり,回転体であることがわかります。

では,回転体ならば都合のいいP(X,0,Z)で考えても問題ないので(今回のような対称うんぬんは置いておいても,3次元の事柄を2次元に落とし込み,解そのものや,解法を活用するのは数学の常套手段です),このPでPQとARを求めます。解く上で不要ですが一応図をおいておきます。
todai_2002_math_3a_1.png
まずLは2球の共通部分を通る面なので,2円の交点を通る直線で表せます。
todai_2002_math_3a_3.png
次に,点と直線の関係から条件式を表してやると,
todai_2002_math_3a_4.png
左辺の絶対値内は外側という条件から常に正なので,右辺の絶対値内の正負で場合分けします。
(i)-Z-1≦0,すなわちZ≧-1のとき
todai_2002_math_3a_5.png
Sの外側という条件に注意すると,
todai_2002_math_3a_2.png

(ii)-Z-1>0,すなわちZ<-1のとき
todai_2002_math_3a_6.png
これはZ<-1のとき満たせません。
(また,Sの外側という条件に注意すると,何も残らないことがわかります(Sに含まれてしまいます))。

(i)(ii)より,(i)の図をz軸で回転させたものになるので,球の体積で計算すると(3.144にしているのは6で割れるようにです。あんまかわらないというか逆にめんどくさいかもしれません),
todai_2002_math_3a_7.png
こういう感じで最後にくだらない計算させるところが東大さんらしいっちゃ東大さんらしいのですが,めんどくさいのでやめて欲しいです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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