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東京大学2001年前期数学第1問
todai_2001_math_1q.png

解説


簡単な図形の問題ですが,世間で言うところのヒラメキが少し必要なため,誰にでもすぐ解けるというものではありません。ですがヒラメキなんてのは言い訳であり,つまってからどう考えるのかが,数学だと思ったりします。

三次元が嫌ならば,二次元で考えてみることをお勧めします。この問題は次数を落とすとこんな感じです。

半径rの円上に3点A,B,Cがある。三角形ABCの各辺の長さは,AB=√3,AC=BC=2を満たしている。このときrの値を求めよ。

これならかなり解きやすくなります。まず作図の段階で,仮にxy座標に描くとしたら,以下のようにABがx軸(もしくはy軸)に平行,かつ,中点がy軸(もしくはx軸)上にくるように描くのではないでしょうか(これは実は重要な考え方で,ABのみが対称性を崩している要素なので,ABの中点を考えることによって,対称性の崩れを緩和してやろうという考えです)。
todai_2001_math_1a_1.png
そして,OC=OBなんて条件式を立てて、OM(またはOC)を未知として計算するのではないでしょうか(OC=MC-MO,OBは直角三角形OMBで考えます)。

では,憎き三次元でも同じ感じのものは使えないかと考えてみます。まず,図の描き方として1つだけ異なるABを例えばz軸に平行にとって,かつ,中点Mがxy平面上になるように描いてやります。そして,Cは2次元では垂直二等分線上だったので,CおよびDはABの垂直二等分面上の点であることがわかります。つまりMCDは中心Oを通る面上(xy平面上)にあることがわかります。
todai_2001_math_1a_2.png
結局確かめたいことは,OA=OCなので(OBはOAと対称,ODはOCと対称です。),Aの座標,すなわちMの座標がわかればOKと,Cの座標がわかればOKです。二次元の場合と同様にOM(またはOM')を未知として計算して出してやることになります。

とりあえずMCD同一平面ということがわかったので,わざわざ三次元にこだわる必要はありません。二次元に逃避しましょう。
todai_2001_math_1a_3.png
不明なのはMC=MDです。これはMとCを含む別の三角形を探すとABCがあり,三平方の定理によって,
todai_2001_math_1a_4.png
となります。二次元のときのABCでもCMは求める必要があったので,形が似ているCDMもMM'を求めます。
todai_2001_math_1a_5.png
Oに近い辺の方が長くなるため,AB<CDよりMM'はOをはさむので,OMを未知数としてOA=OCを立てると,
todai_2001_math_1a_6.png

無駄に長々としてしまいましたが,結論としては二次元が一番ということでした。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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