ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2001年前期数学第3問
todai_2001_math_3q.png

解説


c(t)を求めるまでは基本中の基本という問題です。c(t)を求めた後は,c'(t)<0がすぐには示せないため工夫が要ります。この工夫は本問特有のものではなく良く使うものなので,今回でマスターしてしまいましょう。

必要もないですが,とりあえず図にすると(わかりにくいですがaは下側ではなく三角形です),
todai_2001_math_3a_1.png
まず,aを求めます。3座標からなる三角形の面積なので,ベクトルの外積÷2で(高校生ならコツコツ求めてもいいと思います),
todai_2001_math_3a_2.png
bは三角形の曲線の下部分になりますが,求めるのが大変そうなので,曲線の上(図の濃い色)を求めてaから引いてやります。PQの直線を求めて積分すれば,
todai_2001_math_3a_3.png
となります。このc(t)を微分してt>1で負になることを示せればOKです。微分する上で,分母がめんどくさそうなので,分母分子にtをかけた上で微分します。
todai_2001_math_3a_4.png
これが負ということですが,分数のような複雑な形をする場合には,符号が考えている変域で不変となる部分を除外して考えることが出来ます。よって,t>1より2>0とt2-1>0を除外すると,示すべきものは
todai_2001_math_3a_5.png
となります(整式の分数は後に微分することを考えると簡単にしておけば楽です)。つまりt>1における最小値が0より大きいということなので,微分してやります。
todai_2001_math_3a_6.png
とつねに単調増加になるので,境界の値であるt=1を調べて0以上ならOKです。
todai_2001_math_3a_7.png
となり,c'(t)はつねに負である,つまりc(t)がt>1で単調減少関数であることが示されました。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
最後から4行目の分数の微分あってます?
2016/09/07(水) 16:28:22 | URL | #- [ 編集 ]
間違っているどころか微分してないですね。 直しておきます。 指摘ありがとうございます。
2016/09/07(水) 20:35:34 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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