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東京大学2001年前期数学第4問
todai_2001_math_4q.png

解説


複素平面と数列の融合問題です。本問題は複素平面の問題ですが,当然ながら座標として扱っても解けます。

bについて聞かれているので,bについて整理します。bの定義をaの漸化式に導入するためにはan+1で割ってあげればOKです。
todai_2001_math_4a_1.png

(1)
求めた漸化式よりn=2,3求めると,
todai_2001_math_4a_2.png
となります。卑怯な方法ですが,円上と言われているので,運がよければ直角三角形や正三角形が得られ,すぐに円が求まるかもしれません。いくつかの組み合わせで引いて角度を計算してやると,
todai_2001_math_4a_3.png
となってビンゴです。つまり,b1,b2を直径とする円になります。よって,中心は中点なので,1/2となり,半径は|1-2i|/2=√5/2となります。

(2)
見るからに数学的帰納法が第一選択肢です。
(i)n=1,2,3のとき
(1)よりというかCの定義から明らか。

(ii)
n=kのときにbkがC上に位置すると仮定します。証明すべきn=k+1の式は
todai_2001_math_4a_4.png
です。2乗して左辺を漸化式を利用して変形していきます。
todai_2001_math_4a_5.png
n=kの要素で表せたので,C上という条件が活用できないか考えます。同じように計算するとbkと共役な複素数の積や和が出てくるので,それを活用します。
todai_2001_math_4a_6.png
代入します。
todai_2001_math_4a_7.png
となりn=k+1においても円C上にあることがわかります。

(i)(ii)より,すべての自然数nにおいてbnは円C上に存在します。

【別解答】座標利用
bの漸化式を求めるところまでは同じです。
(1)
本解答と同じように求めます。次に,座標表記にして円の方程式に入れます(実部がx軸,虚部がy軸です)。
todai_2001_math_4a_8.png
となり中心(1/2,0),半径√5/2です。

(2)
座標表記なので,x成分,y成分の漸化式が欲しいです。bn=xn+yniとでもおいて考えて見ます。
todai_2001_math_4a_9.png
円の方程式の左辺に代入してみます。
todai_2001_math_4a_10.png
となり数学的帰納法でC上の点だとわかります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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