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東京大学2001年前期数学第5問
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解説


長々しくて読むのも打ち込むのも嫌になる問題ですが,内容自体は悪くない論理問題です。起こり得る事象を整理し,最後について聞かれているので,最後から逆向きでいけないのか考えます。

起こりえる事象は
(i)水量が変わらず最後まで残る
(ii)水量が増えて最後まで残る
(iii)途中で取り除かれる
となります。

(1)
(ii)か(iii)であることを示せとのことです。直接考えてみても出てこないときは,背理法を試してみることは定石です。その場合,(i)が起こりえないことを示せばOKです。

初めに述べたように,逆向きに考えます。
(i)の状態ではxと1-xのビーカーが存在します。これを逆向きに操作するとなると,水が増えていないxのビーカーではなく,1-xのビーカーの水を他のビーカーに分けてやることになります。
さて,分割後の量ですが,xのビーカーが操作の対象にならなかったということは,分割後の2つのビーカーの水の量はx以下である必要があります。
つまり,三つの段階の水の総量は3xより小さい,つまりx<1/3なので水の総量が1未満になってしまいます。これは矛盾します。

よって,(i)の状態はあり得ず,それ以外の(ii)(iii)しかあり得ません。

(2)
同じく背理法で処理すると,(ii)(iii)があり得ないことを示せばOKです。

(ii)
xに水を追加すると言うことは,ある時点において,水量がx以上となるビーカーが存在すると言うことです。しかし,初めはどのビーカーもx未満なので,このx以上のビーカー(Aとします)は操作によって増えたビーカーということになります。
また,ビーカーA以外にもxに追加することになるビーカー(Bとします)が存在しています。x以外に今考えているビーカー3つ(Aになる二つのビーカーとB)のうちで,少ない2つを足すとAになるので,2つの液量の和はxより大きくなり,Bの液量は2番目に多いビーカー以上の水量がなければならないので,少なくともAの半分以上,つまりx/2より以上となります。

以上から,ある時点での水量の合計が,x+x+x/2=5x/2以上になり,x>2/5ならば1リットルを超えてしまいます。よって(ii)は起こりえません。

(iii)
途中で取り除かれると言うことは,x以上の水量のビーカーがxを含めて3つあることになります。よって,全水量は3xより多くなり,x>2/5ならば1リットルを超えてしまいます。よって(iii)は起こりえません。

つまり,(i)しかあり得ません。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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