ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2001年前期数学第6問
todai_2001_math_6q.png

解説


問題文から何を言っているのかわからない人もいそうな問題です。そのため少し難易度は高めでしょうか。
無理やり状況を考えるならば,AとBを長さ1のひもで結んで,表が出たらAを動かす,裏が出たらBを動かすという感じで,紐の長さが1しかないので前にいる方を動かそうとすると,後ろの奴も動いてしまう状態です。

次に,こういう問題でも,対称性のチェックは重要です。AとBを交換しても問題は変わらないので(表裏は変わるが意味はありません),AとBは対称です。

(1)
nからn+1への動き方を考えてつなげることになります。こういった場合には,やり方が変わるもので場合分けしてやります。つまり,a=bかa≠bかです(A,Bが対称なので,A>BとA<Bと分けなくてOKです)。a=bのときは片方だけ動くので,必ず次にはa≠bになり,どちらが前に出るかの2通りです。a≠bのときは前のが動くか後ろのが動くかがそれぞれ1通りあります。表にまとめると(答えは右上です)
todai_2001_math_6a_1.png

(2)
ただの漸化式問題です。
todai_2001_math_6a_2.png

(3)
aの期待値のことです。期待値の基本は,値×確率の和ですが,独立試行の期待値のごとく,各回で得られる期待値を足してもOKです(独立じゃなくても各回の期待値を求められればいけます。要するに期待値の階差数列的な考え方になります)。

Aの期待値を直接求めてもいいのですが,対称性からAの期待値=Bの期待値なので,A+Bの期待値を2で割って求める方が少し楽な気がします。。

各回の確率は(2)の途中で求めているので(Xn/2n),A+Bの期待値Enの表を作ってやります。a=bのときは片方しか動かないので+1,a≠bのときは1/2で片方のみの+1,1/2で両方の+2になります。
todai_2001_math_6a_3.png
よって,
todai_2001_math_6a_4.png

となります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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