ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2000年前期数学第1問
AB=AC,BC=2の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ。

解説


はっきり言って,工夫も要らない作業問題です。家庭教師で教えている生徒が間違えると少し凹むレベルです。でもこんなのも解けなくて理1,2に受かっている人もいるのでなんともいえないところではありますが。

楕円の面積なので軸を2a,2bとすれば,面積はabπとなります(円の変形ですね)。なので,内接楕円のabが最大になる値を求めればOKです。以下のように座標をとってやって,辺ABと楕円が接する条件で考えます(対称性からACは無視)。
todai_2000_math_1a_1.png
ABと楕円の方程式を立てて判別式を立て,aとbの関係を求めます。
todai_2000_math_1a_2.png
abに代入して最大値を求めます。この際に,0<a<1です。また,a=0,a=1でab=0かつ3次の項が負の3次関数なので,abを微分して0になる大きい方のaを代入すればOKです。
todai_2000_math_1a_3.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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