ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2000年前期数学第2問
todai_2000_math_2q.png

解説


複素数としてしっかりと条件を式に変換できるかが鍵となる問題です。基本をしっかりして欲しいという東大の方針通りですね。ちなみに○本さんは幾何で解いているようなのですが,私は初等幾何のセンスがないので計算ごり押しで行ってみました。興味ある人は赤○を参照してください。
なお,別解答として,複素平面上の直線と,ある点からその直線への垂線の足との関係がどのようなものであるか知っていればさくっと終わる方法を挙げておきます。

【解答】
まず,wがどういう点であるのかを整理します(wの定義とします)。ABにORが直交し,かつ,AB上にあることになるので,適当な定数kを見繕えば,
todai_2000_math_2a_1.png
証明すべきものも複素数の形にしてやります。
todai_2000_math_2a_2.png
あとは必要条件,十分条件に分けて証明していきます。

(i)必要条件
w=αβとwの定義下より,
todai_2000_math_2a_3.png

(i-i)k=-α=-1のとき
まず,αはα=1なので考えるべき円上の点です。次に,α=1をwの定義上に代入すると,
todai_2000_math_2a_4.png
となりβも円上の点であることがわかります。

(i-ii)k≠-αのとき(k≠-1でもあります)
wの定義上に代入します。
todai_2000_math_2a_5.png
となりαは円上です。このときβは,
todai_2000_math_2a_6.png
となりβも円上にあることがわかります(最後の変形はαが円上であることを使っています)。

(ii)十分条件
wを求める方針です(計算を楽にするため,一行目は分母分子を逆にしてwを分子にしています。最後は共役な複素数達はいらない子なので消しています。)。
todai_2000_math_2a_7.png

【別解答】
wが直線l上で,かつ直交するということは,lは原点と2wの点の垂直二等分線ということです。つまり,
todai_2000_math_2a_8.png
が成立していることになります(原点と2wから等距離です)。

(i)必要条件
wを代入して,それぞれα,βで除すると
todai_2000_math_2a_9.png
となるのでα,βともに考えている円上にあります。

(ii)十分条件
(i)において,逆向きの矢印も成立しています。
todai_2000_math_2a_10.png
であり,α,βを結ぶ直線lは原点と2αβの垂直二等分線になっていることがわかります。つまり,原点と2αβの中点であるαβは当然直線l上であり,原点とαβを結べば直線lと直交します。これはwの定義に他なりません。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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