ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2000年前期数学第3問
todai_2000_math_3q.png

解説


まずは更新が変なとこで切れてすみません。雑務に追われていました。

さて,この問題は高校ではほとんど扱わない不連続な関数が与えられており,一見すると飛ばしたくなる問題かもしれません。しかし,誘導が露骨であり,それに従っていくだけの問題です。
(2)別解として,連続関数に拡張した方法を載せておきます(実際に本番で書くと厳密な議論をしないと点減らされそうな気もしますけど)。

【解答】
(1)
置き方を指定されている問題なのでそれに従っていきます。これを適用可能なものは,問題文中の方程式しかないので,そこに代入します。
todai_2000_math_3a_1.png

(2)
(1)よりfを求めて計算します。a=nhであることに注意します。
todai_2000_math_3a_2.png

(3)
(i)c=2のとき
代入すると
todai_2000_math_3a_3.png
となります。下に凸な単調減少関数です。

(ii)c=1のとき
代入するとg(x)=1です。

(iii)c=1/4のとき
代入すると
todai_2000_math_3a_4.png
となりx=log3で変曲点をもつ単調増加関数となります。

(i)~(iii)よりグラフは以下のようになります。
todai_2000_math_3a_5.png

【(2)別解答】
limはないものの,満たすべき方程式(①とします)は微分っぽい形をしています。しかし,連続関数ではなく,離散関数であるため,微分不可能です。気分が悪いので,連続関数に拡張してやります。
つまり,①を満たす連続な関数を考えるということであり,(2)ではlimをとっているのでn→∞,つまりh→+0で考えてやることになります。ただし,kは十分大きい値を取れるので,khをまとめてxとおけることに注意します。
todai_2000_math_3a_6.png
これ(②とします)はf(x)=0,1を共に含み,除外したc=1の時もf(x)=1になり含みます。
厳密には,①かつ連続⇒①,①かつ連続⇒②なので,必要十分性にも触れてやる必要があります。つまり,①⇒②となるためには,①を満たすすべての関数に対して,①かつ連続となる関数が存在する必要があります(有理数の稠密性と関数の連続性を絡めてなんやかやですかね?)。

(2)は特殊な値であるx=aを代入します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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