ひたすら受験問題を解説していくブログ
麻布中学校2013年算数第4問
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さて、この辺から危険な香りが漂ってきます。でも、誘導が適切であり、誘導自体は点を取りやすいのが作問者の力量を示している気がします。(2)は力技がきびしいので難しめ。

解答

解法のポイント
  • わかりやすいまとまりを作ってあげる
  • 半端ものが不明だと困るのでわかるものを半端ものにしてやる

それぞれ同じ数ずつ増えてるので、二人がコインをとることを1セットとすると3-1=2、7-5=2・・・とB君が2ずつ多くなっていきます。ということは、セットがちょうど終わったときには偶数の差になるため、31枚のコインの差にはなりません。よって、A君が最後に取ったことがわかります。
ではA君が最後にとったのは何枚でしょう?セット数をnとして-2n+4n+1=2n+1が31枚というのでも解けますが、折角なのでエレガントに行きましょう。
最後が何セット目かわからないと最後にとった数がわからなくて何セット目かわからなくて・・・となると思います。そんなときは3-1=2ではなく5-3=2、9-7=2・・・とBAを1セットにして、わかりきっている初めの1枚を半端ものにしてやればいいのです。
すると30枚の差が何セットになるかは2で割ればいいので15セットです。よって1+15×4=61枚がAが取った最後の枚数です。

(2)(1)の発想を利用します。Cが最後、Bが最後、Aが最後のパターンを考えてセットを組んでいきます。
(i)Cが最後の場合
初めに取る数がA<B<CなのでCが最も多く、Aが少なくなります。また、(1)と同様にすればセット内の差は4-1=3となり、87枚の差ができるのは29セット終わったときです。よってCが4+28×7=200枚とった時です。

(ii)Bが最後の場合
セットはCABになるのでCが最小でBが最大です。セット内の差は9-4=5であり、Bは開始前に2枚持っているので、85を5で割るとセット数が出ます。よって17セットです。2+17×7=121枚になります。

(iii)Aが最後の場合
セットはBCAとなるのでBが最小でAが最大です。セット内の差は8-2=6であり、Aは開始前に1枚持っているので86を6で割りますが、割り切れないためおかしなことになります。

(i)~(iii)より、B:121,C:200
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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