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東京大学2000年前期数学第5問
 次の条件を満たす正の整数全体の集合をSとおく。
「各けたの数字はたがいに異なり,どの2つのけたの数字の和も9にならない。」
ただし,Sの要素は10進法で表す。また,1けたの正の整数はSに含まれるとする。
 このとき次の問いに答えよ。
(1) Sの要素でちょうど4けたのものは何個あるか。
(2) 小さい方から数えて2000番目のSの要素を求めよ。

解説


ただの中学入試です。「各けたの数字はたがいに異なり」と「どの2つの和も9にはならない」を個別に考えて,ともに起こる場合はどういう相互作用があるのか考えるのが定石ですが,本問の場合は特に相互作用もないため,非常に簡単です。


(1)
大きい桁から埋めてく場合を考えてみれば,「各けたの数字はたがいに異なり」と「どの2つの和も9にはならない」のいずれも,選んだ数字に対応する数字(同じ数字,足して9になる数字。当然この両者は異なります。)が使えなくなります(ある数字と足して9になる数字はただ一つあります)。

よって,千の位は0を除いた1から9までのうちから選べます。次の百の位ですが,千の位と同じ数字,および,足して9になる数字がダメなので,0から9のうちで2個だめです。よって選び方は8通りです。
同様に十の位は6通り,一の位は4通りです。

つまり,9×8×6×4=1728個が答えです。

(2)
数え方は区切りのいいところを粗く計算し,段々と精度を高めていくいつものアレです。
(1)の考察を一般の桁数に拡張してやれば,一番大きい位が9で,それ以降は8から2ずつ減っていく場合の数があり,その積の数だけ数字がありえます。

1桁のもの:9
2桁のもの:9×8
3桁のもの:9×8×6 (ここまででは全然足りません)
4桁のもの:9×8×6×4
です。ここまでで合計すると,9×8×6×5+9×8+9=9×8×31+9=9×249=2241です。
ある程度近いのでここから巻き戻しで行きます。

4桁で大きいものは当然,千の位が9なので,これをカウントします。8×6×4=192です。千の位が8も同数だということを考慮すれば,2241-192=2049>2000かつ2241-192×2<2000なので,千の位は8で,2049個目がその最後です。百の位も同様に考察すると,百の位を固定すると6×4=24個あるので,百の位を2数字巻き戻したもの(3数字目のラスト,つまり8697)が,2001個目になります。
よって,それより1個戻してやった8695が答えです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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