ひたすら受験問題を解説していくブログ
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領域に関する問題の解説

Q

次の問題を解説して頂きたいです。
qa_m_1_1.png

出展は東京出版の新作問題演習です。
どのような発想をもとにこのような解答に至るのかを教えて頂ければと思います。


A

絶版しているとはいえ,出版物の解説の解説なので,著作権的にどうなのと思いつつ回答します。
東京出版さんから削除要請があれば消さしていただきます。

出版物の解答をそのまま載せるわけには行きませんが,その流れは,
1.xy平面上に領域を考察する(xに平行な線を引いて円板外にでない)
2.円板間の関係を調べる(接するか,まったく離れているかになる)
3.異なる2つのq間での接点のyがずれるため,q=1同士,q=1,2間でしか成立しない
といった流れです。

自分で解いてみたのも同じ感じの解答にはなったので,自分が解いた感じを,いつもの入試問題解説ではかなり端折っている考察過程も含めて記載したいと思います(同じ過ぎてそのまま載せるのと変わらない気がしますが・・・)。

1.
まず,問題の言わんとしていることを理解するために,とりあえず図示していくことを目指しました。一気に書くのは無理があるし,内容をつかみにくいので,qを1つずつ増やしていくことにしました。この辺は,数列の問題においてn=1,2,3,・・・と最初の方を考えていって推測することと同じ要領です。
出来た図はこちら。
qa_m_1_2.png
問題文が言わんとしていることは,yを固定し,すべてのxが網掛け部分(境界線を含む)のどれかに含まれることなので,直線y=kが網掛け部分,つまり円からでないkを選んであげることだとわかります。というかここはわかってください。
つまり,ちょうど図に描いたy=1/2はこの条件を満たしていることがわかります。

2.
さて,よくわからないまま,q=2以降を加えて行きます。この際に,p,qの符号の取り方,p,qが整数であること,p/qにおいてqより小さいp'を用いてp=nq+p'と表せることを考えてやれば,0≦x≦1のみで考えても問題の本質は変わりません。
よって,以下ではその区間でのみ考えます。

q=2を追加で描いてみるために,どんな感じになるのか(そもそもq=1の円と交点を持つのか)計算してみます。円同士なので,半径の和と中心間の距離の比較です。
x=1/2に関する対称性から,(p,q)=(0,1)の円と(p,q)=(1,2)を考えます(それ以外のq=2の円の結果はほぼ自明です)。
qa_m_1_4.png
接してしまいました,怪しい円の半径や中心のy座標はこのためな気がしてきます。
念のためq=3も求めてみたところ,同じく近い円に接しました。つまり,下図のようになります。
qa_m_1_3.png
ここまでくれば,「もしかして,隣接する2円はすべて接するんじゃないのかな」的な発想が得られます。
あとはそれを式にしてみます。p,qとp',q'の円がどのような交点を持つかは,
qa_m_1_5.png
の大小です。個々に計算するより,2乗の差をとるとX2-Y2の公式が使えて楽そうなので,そっちで判定します。
qa_m_1_6.png

3.
私の脳のスペックの関係で,色々なp/qにおいて,その差がきれいに1/(qq')になるかなんて考えてられません。なので,まずは必要条件で考えてみます。とりあえず,最初に考えた,考えやすい(p,q)=(0,1)の円と(p,q)=(1,n)の交点,(p,q)=(1,n)と(p,q)=(1,n-1)の交点だけで考えてやれば,その交点の座標が求めるべきyの必要条件になります。

この交点を通る直線は,考えている二つの円を断絶なく通過します。しかし,これら2円の外でも断絶なく通過可能かは不明です。
また,別の円が考慮に入れている3円の間に入って(p,q)=(1,n)の円を飛ばしてつなぐことはあり得ません。これは,円は接するか離れているかであり,また,x軸に必ず接することから,複数の円で囲まれた領域に入ることはありません。つまり,(p,q)=(0,1),(1,n),(1,n-1)の3円で囲まれる領域にこれら3円と重なりあわず入るためにはどうしてもx軸から離れてしまい,定義に矛盾します。

(p,q)=(0,1)の円と(p,q)=(1,n)の交点は中心を結ぶ線分を半径比(n2:1)で内分すればいいので,そのy座標は,
qa_m_1_7.png
同様に(p,q)=(1,n)と(p,q)=(1,n-1)の交点のy座標は,
qa_m_1_8.png
です。(p,q)=(1,n)の円からx軸と平行に左右に出れる必要がある(隣接3円を通過すると考えてもいい)ので,次のいずれかが成立します(qが前後となる円以外は更に小さいyになるため考える必要もありません。)。
qa_m_1_9.png
後者は明らかに不適で,前者より,n=2が得られ,このときy=1/5です。このとき,実際に成立していることは容易に確かめられます。

初めのq=1のみのものとあわせて,y=1/2,1/5が答えになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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2013/12/13(金) 01:09:29 | | # [ 編集 ]
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