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東京大学2012年前期数学第1問
todai_2012_math_1q.png

解説


交点を求めて,Lの長さを関数にし,その最大値を微分で求めるだけです。問題は,微分が0になるθを求めるのに一工夫いるため,上手く処理できるかで差が出ると思います。

【解答】
「θで」的な指定があるので,傾きをtanθと置いて進めていきます。三角関数特有の(多少思いつきになる)式変換がいらないmと置いた場合も一応解いてみたので,それは別解答を参照してください。

直線lは原点を通るので,y=xtanθです。これと領域Dの共通部分なので,不等式の境界と交点を求めればOKです(下図参照)。
todai_2012_math_1a_1.png
また,こんな書き方をすると怒られそうですが,θの範囲の境界となる値は0なのは一目瞭然なので,極値にだけ注目すればOKです。領域Dの直線部分,円弧部分と直線lの交点のx座標を求めると(比で長さを出すのでxだけで十分です。),直線はそのままx=(√2)/3,円弧は,
todai_2012_math_1a_2.png
となります。よってLを求めて,微分して極値を考えます(θは0より大きくπ/2より小さいことからcosθ≠0です)。
todai_2012_math_1a_3.png
(具体的なcosθを求めるのは何でもいいので三角関数の公式にぶち込んでください。)このとき,円との交点のx座標は2sinθcosθ=2(√2)/3であり,考えるべき変域に含まれます。そして,そのときのLは,
todai_2012_math_1a_4.png
となり,境界の値である0より大きいため,これが極大値になります。


【別解答】傾きをmとして処理
はっきりと計算量は増えますが,三角関数の関係式を使わずに計算できるため,”なぜか思いつかない”という失点はない解法です。y=mxで同様に処理すると,
todai_2012_math_1a_5.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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