ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2012年前期数学第2問
図のように,正三角形を9つの部屋に辺で区切り,部屋P,Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し,1秒ごとに,そのままその部屋にとどまることなく,辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。

todai_2012_math_2q.png

解説


こういう何かが動く系の問題は,偶奇性で攻めてやると偶数のみいけるところ,奇数のみいけるところと分かれることが多いです。あとは普通に漸化式を立ててやります。偶奇にきれいに分かれない場合も,いくつかの取り得る状態を分類して考えることは有用ですので,こういった問題を見たときは分類して対処してください。
一応2パターンの漸化式の立て方をあげておきます。別解答のような立て方は知らない受験生もいるかと思います。

【解答】
Pから他のところに出てPに戻る場合も,QやQから左に2つ行った三角形(Rとする)のいずれも,Pから偶数回でしか到達できません。そしてそれ以外は奇数回でしか到達できません。
また,RとQは対称性より,同じ確率で到達します。以上のことから,n回目にPにいる確率をpn,Qにいる確率をqnとすると,
todai_2012_math_2a_1.png
であることがわかります。nが偶数のときは,全確率の和が1になること,および,P,Q,RからQへの行き方を考えて(PからもQからの行き方は同じです),
todai_2012_math_2a_2.png
nが偶数のときn=2kより,k=n/2であり,
todai_2012_math_2a_3.png

【別解答】
対称性からQとRは同一,また偶奇性から偶数のときにP,Q,Rのどれかにいる確率は1で奇数のときは0です。
さて,PからQに行く確率も,QからPに行く確率も同じです。よって,n=2の時の情報に基づいて(nを2ずらすことと同じです)考えてやれば,
todai_2012_math_2a_4.png

となり,あとは本解答と同じです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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