ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2012年前期数学第3問
todai_2012_math_3q.png

解説


単純な体積の積分を計算するだけです。特に工夫は要らない問題なので,中間テストとかで出されても違和感のない問題です。
一応、普通の求積法と別解答としてバームクーヘンを使った求積法をあげておきます。もはやどっちでもいいレベルの問題ですが。

【解答】
(1)
式の対称性(xでも-xでも同じ値になる)からy軸に対称であることはわかります。交点を求めて図にしてやると,こんな感じです。
todai_2012_math_3a_2.png
todai_2012_math_3a_1.png
あとは普通に積分します(表記の都合上,二次関数を(x1,y1),楕円を(x2,y2)とします)。まず,V1は,
todai_2012_math_3a_3.png
V2はy軸方向に沿って積分します。
todai_2012_math_3a_4.png

(2)
単純に比較するだけです。とりあえず,簡単にすると,
todai_2012_math_3a_5.png
これを1と比較するということは22を両辺に掛けて差をとればいいので,40√2と57の比較です。2乗すると3200と3249なので,57の方が大きいです。
よって,V2/V1<1です。

【(1)別解答】
V2はバームクーヘン積分で求める人も多そうです。
todai_2012_math_3a_6.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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