ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2012年前期数学第4問
nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1)連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2)連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。

解説


(2)が難しいです。というか,(1)が結構な罠で,数学的帰納法で証明したくなるような設問構成です。こういう問題は(1)の結果を使う場合(帰納法など)と,(1)で用いた手法を使う場合がありますので,一方を考えてダメそうだったら他方にシフトして考えるようにしてください。

あとは,このような聞き方の問題は背理法を第一選択肢として思いつくようにしたいです。また,連続な数と言えば,一方が偶数だとか,互いに素だとかは頻出なので,その辺もすぐ出るように鍛錬しておきたいです。

そして,考えた末に●本と同じような答えになると少し悲しくなります。

(1)
n乗数として矛盾を突きます。ポイントは連続する2つの整数は互いに素であることです。互いに素かつ共に1とはならない2つの整数p>q>0を用いて(共に1だとk(k+1)≧2は明らかなので不適),
k(k+1)=pnqn
と表せます。
k>k+1なので,k+1=pnかつk=qnです。
つまり,
todai_2012_math_4a_1.png
となります。ここで,n≧2より
todai_2012_math_4a_2.png
となり,右辺は1より大きくなってしまいます。よって,初めのn乗数という仮定が間違っていました。

(2)
冒頭でも言ったように,第一選択肢は個数を増やす帰納法,第二選択肢はnを増やす帰納法ですが,私の思慮不足のせいか,そもそも無理なのかはわかりませんが上手くいきません。
なので,(1)で使った手法,「連続する2つの整数は互いに素」で背理法をかけてやります。

半ば思いつきで何故そのような考えに至ったか説明できませんが,自然数pを用いて
todai_2012_math_4a_3.png
だとすると,k<p<k+n-1が成立します(n乗して考えれば当然ですけど,取っ掛かりがないですね)。よって,kからk+n-1までの数は左辺に含まれるので,こうともかけます。
todai_2012_math_4a_4.png
よって,左辺にはpと互いに素であるp+1を含んでいるため,右辺と矛盾します。よって,n乗数
という仮定がおかしかったことになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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