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麻布中学校2013年算数第5問
azabu2013-5q.png
いやーこれ、盲点になってたとはいえ(2)に完全にはまりました。1時間以上考えて答えがわかった感じです。きれいな誘導があるにも関わらずでなさけない。気づけばたいしたことないが気づくか否か。あと、問題の本文にあった三角錐の説明とかは省いて掲載しています。

解答

解法のポイント
  • 高さが変わらずに三角錐の1つの辺が1/2とかになると体積も1/2とかになる(底面積が1/2とかになるので)
  • 複数の辺が1/2とかなら1つずつ順に処理してやる
  • 1つの頂点を構成する角が等しいなら同じ平面でつくられている(小学生ならなんとなく感覚でいいと思います。)


(1)三角錐ABCDを1とするとABQRはBDを1/2に変形させて、その後BCを3/5に変形させたものなので、1/2×3/5=3/10になります。PBQRはさらにABを2/3に変形させたものなので、3/10×2/3=1/5になります。よって10:3:2が答えになります。

(2)少し考えてむりなら、必ず(1)を使うことを前提に考えてください。アはイメージしやすいですが、イはイメージしにくいです。図5で長さが書かれている辺が入れ替わるようにくるっとまわしてみてください。そうすると展開図(下図右)ができます。ポイント3つ目にかいたように、図4でも下図右でもE,F,Gが同じ頂点になります。つまり、1つの頂点を構成する角がすべて等しいため、図2のABCDとABRCのような関係になっています。
あとは先ほどひっくり返して作った展開図で対応を見てやると10cmは互いに一致、9cmは12cmと対応、11cmは8cmと対応ということがわかります。これをテキトーに図にすると下図左になります(数字はEからの距離)。azabu2013-5a.png

よってイはアの8/11×12/9=32/33となるので、33:32が答えになります。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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