ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2012年前期数学第6問
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解説


ひたすらいわれている通りに計算していけばよい問題ですが,東大受験生である以上一工夫ほしいところです。また,トレース(Tr)の基本的な計算則を知っているとほんの少しだけ楽になります(参考参照)。

(1)(2)を俯瞰してみると,対角行列X,Yに対してU(t)XU(-t)Yがところどころに出てきます。X,Yを次のように定義した場合にTr(U(t)XU(-t)Y)を求めると,
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(1)
Uが回転であることに注意して計算すると(U(x)U(y)=U(x+y)が成立するということ),
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xは任意なので,-1≦cos⁡(2x-t)≦1です。よって,絶対値が1かつcostかけて正になるようにとれば最大で,そのときf(x)=2(a-b)|cos⁡t|です。

(2)
これも初めに作った公式を使います。その際にsinは邪魔なのでcosのみにします。
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さて,この最小値が0以上ならよいので,a≧bなので,{}内がすべての|cost|で0以上です。a≧bなので,|cost|の係数が正ならば問答無用で成立,負ならば,最小は|cost|=1の時になるので,|cost|=1を代入した値が0以上になります。
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方法1:相加相乗平均(a,bの条件式が正なので出てきます)
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方法2:微分(思いつかないときはこれです)
f(c)とでもして微分して極値を出し。そして0≦c≦1の境界を代入します。
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よって,すべて0以上なので,f(c)の連続性から0≦c≦1において左辺≧右辺となります。

【参考】トレース(対角和:Tr)の計算
行列の積C=AB,D=BA,F=A±B,を各行列のi行j列成分を下添え字で表すと次のように成ります。
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トレースは行と列が同じものの和なので,
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となり,
Tr(AB)=Tr(BA)
Tr(A±B)=Tr(A)±Tr(B)
が得られます。

和については行列の数が増えても同様に成立しますが,積については交換可能な位置が決まっています。つまりTr(XYZ)=Tr(ZXY)≠Tr(XZY)です。初めの等号はA=XY,B=Zと考えてやれば可能ですが,≠の前後ではそのような組み合わせが存在しません。実際に,
todai_2012_math_6a_9.png
であり,yとzを入れ替えると(第4辺),行列の積の計算にになっていませんので(第3辺は行列の積の定義のままです),XZYとは異なるものであることが分かります。
つまり,積の交換は
Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
のみ成立します。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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