ひたすら受験問題を解説していくブログ
麻布中学校2013年算数第6問
azabu2013-6q.png

画像編集的な意味で困りましたが、難易度も(4)は東大入試で出てもそれなりの難易度な気がします(実は樹形図書けば楽なんですが、当ブログのコンセプトは数学的に問題を楽しむことなので却下)。私もそれなりに思い悩みました。これを樹形図を書かない方法で時間内で解く小学生はすごいと思います。というか、麻布生は何人も指導してきましたが、麻布の定期テストの方が簡単な問題だったりします。

解答

解法のポイント
  • 頂点に注目して作図する
  • 偶奇性に注目する
  • 対称性を利用する


まず、転がしても軸となる辺は変わらないので、2つある軸を含む三角形のうち底面ではなかったほうの三角形になります。そのため、その頂点を書いていけば解き易くなります(別の三角形の頂点は向かい合う頂点ともいえます)。

(1)ACを含む他の三角形はACDなので下図のように下には頂点Dが来ます。次の転がしでは、DCを含む別の三角形はDCFなので、頂点Fが底面に来ます。できる三角形は当然DCFなので図2より5です。
azabu2013-6a-1.png

(2)一つ前の位置に戻るものを-、戻らないものを+とすると、++++、+++-、++--の組み合わせが考えられます(ムダ手と呼ぶことにします。結果だけでいいのでどこでマイナスになるかは関係ありません。)すると順に4回分、2回分、0回分離れた位置に底面が来ます。0回分は元の位置、2回分は(1)で求めたものと対称なもので、元のABCを囲む形、4回分はその一回り外を囲う形になります(二回分の位置にあるものを1つ選びそれについて書き出して考えればOKです)。また、いける場所を偶数でいける場所と奇数でいける場所に分けて考えれば、交互にいけない場所が来ることも推測の手助けになります。。よって下図のようになります。azabu2013-6a-3.png
さて、アですが、考えられる経路は2回分でいく図の汚い矢印の時計回り経路(ムダ手1回)と4回分で行く反時計回り経路(ムダ手なし)が考えられ、前者はカッコなしの頂点、後者はカッコで囲まれた頂点になるので、図2よりそれぞれ7と1が底面に来ることがわかります。

(3)動き方は一つの動き当たり3つの辺のどれかなので3×3×3×3=81です。

(4)まず、図1の面のうち偶数回で底面になれるものは限られています。図2でいうところの1,3,5,7のどれかです。それ以外は奇数回でしか底面になりえません。これらのうち本質的に異なるものは1であり、それ以外はABCのとなりのとなりになります(後で対称性でこのことは使います)。
さて、最後に1かそれ以外が底面に来るかで分類してやります。
上の図において1になるものはムダ手が2回で元の位置に来るもの、もしくはアに反時計回りでいくようなムダ手なしで元の一回り外の位置に来るものが考えられます。

(i)ムダ手が2回のとき(1になるもの)
元の位置に来るので底面は必ず1になり、++--と+-+-が考えられます。それぞれ3×2×1×1、3×1×3×1通りとなるので、底面の和は15になります。

(ii)ムダ手が0回のとき(1になるもの)
反時計回りでアに行くようなもので、対称性から6倍の6通りあり(はじめに3辺どれに転がるのか、時計と反時計どちらに回るのかで3×2でもOK)、和は6になります。

(iii)1以外になるもの
81-6-15=60通りあります。対称性より底面が3,5,7になる場合の数は等しいので、(3+5+7)×60÷3=300が面の和になります。

以上から、6+15+300=321が底面の和の合計になります。

補足

1以外になるものを直接求めることも可能です。

ムダ手が1回のとき
+-++、++-+、+++-が考えられ、それぞれ、3×1×3×2、3×2×1×2、3×2×2×1となります(+の動きが3通りになるのは初めの位置のみでそれ以外は2通り)。よって42通りです。対称性より底面が3,5,7になる場合の数は等しいので、(3+5+7)×42÷3=210が底面の和になります。

ムダ手が0回のとき
++++から1になる場合の6を引いたものになるので3×2×2×2-6=18通りになります(上の図でアからもう一回り外にいくものが3つあったことから6×3でもOK)。よって(3+5+7)×18÷3=90
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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