ひたすら受験問題を解説していくブログ
センター試験2013年数学IA第3問

解説


問1
アイ:10 ウ:3 エオ:10 カ:5 
特に指定がないので都合の良いように座標をとってやればいいでしょう。
center2013_math_3a_1.png
Aの座標は(0,3),P(1,0)なので,AP=√10です。

ODとAPの交点をHとすると,AOP∽OHPなので,AP:OP=AO:HOです。つまり,√10:1=3:HO⇔HO=3/√10。
PO=PDなので,OD=2HOです。よって,(3√10)/5

キ:4 ク:5 ケコ:24 サ:5
どうみても余弦定理です。AO=AD=3なので,AODで余弦定理を使うと,
center2013_math_3a_3.png
ACを求めるのでACを含む三角形を探します。とりあえずABCが直角三角形で楽そうで(AOCでも当然可能),さっき求めたcosで一発です。
AC=ABcos∠OAD=24/5

シスセ:216 ソタ:25 チ:6 ツ:5
sin∠OAD=3/5なので,1/2・AB・AC・sin∠OAD=1/2・6・24/5・3/5=216/25

内接円の半径をrとし,各辺から高さrの三角形にABCを分割して考えた面積より,
center2013_math_3a_4.png

(1)
テト:12 ナ:5 ニ:2
CEAは∠E=∠B(円周角)の直角三角形で,ともに斜辺が直径なので合同です。よって次の図で考えます。
center2013_math_3a_2.png

QRはACから半径2つ分引いた長さです。よって,24/5-12/5=12/5です。2円の距離が半径の和なので,図は適当なので接しませんが,本当は外接するようですね。

(2)
ヌ:6 ネノ:10 ハ:5 ホ:2
QからACに下した垂線の足をH'とすると,AH'=3rであり,QH'=rなので,AQ=r√10です。

PもQも∠BACの二等分線上なので(二辺に接する円ならば,その間の角の二等分線上に中心があります。)AP:AQ=1:6/5なので,PQ=1/5です。よって,半径と中心の距離を考えると,どちらも半径より内側に他の中心があることがわかります。

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