ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2014年算数第1日目第5問
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解説


自分が初めてといたときの解答と,ふと電車で思いついた別解答を載せておきます。

まず,7回かけたもので最小は2×2×2×2×2×2×2です。同じ数を掛ける回数を数字の上に書く記法で行きます。つまりこれは27

(1)
この2達を他の数字に入れ替えて考えます。小さい順に
2を3に変更
2を4に変更
2を5に変更と思われるかもしてませんが,2×5>3×3なので間にこれが入ります。
よって,26×5=64×5=320

(2)
最大の素数が2,3,5,7,11,13のケースで考えればOKです。そしてその最大の素数が何回かかっているかも場合わけのように考慮します。


(i)13のとき
13,169に2をかけていくと
13×64=832。また,832は2を3に変えてもオーバーしてしまいます。
169の方は7回以上になるようにかけれません

よって最大は832

(ii)11のとき
同様にします。
11×64=704。また,704は2を3に変えてもオーバーしてしまいます。
121の方は7回以上になるようにかけれません。
よって704

(iii)7のとき
49×32>1000なので7は2個は含めません。

7×64=448
です。2を追加すると896です。ここから3以上への変更は無理です。
448に戻って,3の追加はできないので,2の交換を考えます。2で割ると224であり,3はかけれます。このとき,224×3なので,672です。さらに2を交換しようとすると336×3でオーバーしてしまいます。
よって,896

(iv)5のとき
53×23=1000なので,5は2個か1個です。

25×32=800であり,2を3と交換すると800÷2×3>1000でアウトです。
5×64=320なので,3まで追加でかけれます。このとき960です。

よって,960です。

(v)3のとき
3のかかった数によって分けて考えます。
3,9,27,81,243,586
2を可能な限りかけると,
768,576,864,648,972,586(掛ける回数もだめです)

(i)~(v)より972

【別解答】
2が少なくとも何個入っていなければいけないのかを考えます。
27=128であり,2を個々から減らす方針でいけば,2を2以外のものに置換していくことになります。
置換可能な回数は置換するものが小さいほど多くなるので,3で置換していくと2ができるだけ置換できます。
22×35=972
がそれに該当することがわかります。

つまりこれ以上は2は少なくなれないので,次に,35=243部分を大きくすることを考えます。
250を4にかけると1000になることから,244から250まで数字で,5個以上に分解できるものがあればOKです。

これらにそのような数はないので,初めに求めた972が答えになります。

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コメント
コメント
わかりません。
はじめまして。
320という解答に納得がいかず、調べていたらこのブログに辿り着きました。
2の7条
2の6条×3
2の6条×4
2の5条×3×3
2の6条×5
の順ですか?
三番目の×4は素数ではないので使えないのではないでしょうか‥?
2014/02/20(木) 20:57:46 | URL | 山本 #oG343v.w [ 編集 ]
分かりました!
2の8乗ですね!
7個以上ということを忘れていました。
お騒がせいたしました。。
2014/02/20(木) 21:20:33 | URL | 山本 #- [ 編集 ]
いえいえ。
無事解決して何よりです。
2014/02/20(木) 23:38:23 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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