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灘中学校2014年算数第1日目第10問
nada_2014_math_10q.png

解説


わかり易いものと何が共通で何が違うのかでせめてやります。E-AIJKはE-AFHと高さが共通で,面がAFHからAIJKに変化しています。AFHとAIJKを図にすると,
nada_2014_math_10a_2.png
となります。ここでIはAFの中点,KはAHの中点Jは△AFHの重心になります。JからFHに垂線を引けば,△AFHを図のように3等分できるので,AIJKはAFHの3分の1の面積です。
したがって,。E-AIJK=E-AFH÷3=6×6×6÷6÷3=12となります。

【別解答】
四角すいは変形させにくいです。つまり,変形させた比がそのまま体積比にならないということです(E-ABCDでAB上でBをスライドさせてみるとわかると思います)。
そのため,三角すいに分割して考えるのが良く使う手です。

対称性からE-AIJKをAEJIとAEJKに分割してみます。同様にE-ABCDをAECBとAECDに分割して考えます。

対称なのでAEJIとAECBの体積比を出せばよいでしょう。変形していきます。
BE=EIなので,AECI=AECB/2です。

次に,CからJに変形させるとどうなるのか考えます。AEGC平面で考えると下図になります。
nada_2014_math_10a_1.png

知りたいのはEC:EJなので,AJCとMJEの相似でいきます。2EM=ACなので,EC:EJ=3:1です。
よって,AEJI=AECI/3=AECB/6となります。

以上から,E-AIJK=E-ABCD/6=6×6×6÷3÷6=12になります。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
いい手、見つけました
面AIJKは面AFHの3分の1ですから、三角錐E-AFHの3分の1の体積だと。これいい手ですよね。
2014/10/07(火) 23:25:54 | URL | 中川 塁 #Hv3hzBN. [ 編集 ]
気づきませんでした。確かに相当早いですね。コメントを元に解答を更新しておきました。ありがとうございます。
2014/10/08(水) 22:41:37 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
拙著
管理人 さま

さっそく採用有難うございます。小生、中川塁は講談社ブルーバックスより「難関入試 算数速攻術」を刊行しています。もしよかったら宣伝お願いします(笑)。
2014/10/14(火) 09:03:31 | URL | 中川 塁 #- [ 編集 ]
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