ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
灘中学校2014年算数第1日目第11問
nada_2014_math_11q.png

解説


白い中抜きの部分に相当する体積を求める際に,円すい台(名前まちがっているかも)の体積をすぐ出せるように公式化しておきます。
下図のような図形を左の辺回りに回転させた円すい台の体積を考えます。a×a×aをa3のように表記し,円周率をπとします。

相似比より体積の比は,全体:色なし部分=a3:b3であり,全体の体積がa3π/3なので,色つき部分はπ/3×(a3-b3)となります。

さて,問題の図を次の2つの場合で空白部分に相当する体積を出します。以下ではπは省略しています。
(i)
nada_2014_math_11a_1.png

3×8の長方形と,右端の中抜きで考えます。中抜き部分が作る体積は円すい台の公式から
8×8×3-(83-53)/3
となります。

(ii)
nada_2014_math_11a_2.png

全体の円すい台から左の円すい台を引いて中抜き部分の体積を求めます。
(73-43)/3-(43-13)/3
=(73-2×43+1)/3

(i)(ii)を4×8の長方形が作る体積から引いてやります。
4×8×8-8×8×3+(83-53)/3-(73-2×43+1)/3
=64+(83-53-73+2×43-1)/3
=64+(8×8×10-125-343-1)/3
=64+57=121

これに省略していた円周率をかけると121×3.14=379.94

【別解答】パップス・ギュルダンの定理(高校生以上向け?)
証明は高校の内容ですが,結果は小学生でも使えます。
回転体の体積はその重心が描く円周×図形の面積に等しくなります。

全部あったとすると,重心は回転軸から4cmはなれた位置です。また,面積は4×8です。
よって体積は2π×4×4×8=256π

右下の中抜きが作る体積は重心は(5+8+8)÷3=7で,面積は9/2なので,2π×7×9/2=63π

上辺の中抜きは,重心が(1+7+4)÷3=4で,面積は右下の2倍なので9で,体積は2π×4×9=72πです。

よって全体の体積は256π-72π-63π=121π≒379.94

灘中2014年算数に戻る
スポンサーサイト

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/350-cf89990a
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。