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センター試験2014年数学IA第3問

解説


ア:4
余弦定理そのままです。
CA2=16+4-2・4・2・1/4=16 ∴CA=4

イ:7 ウ:8
余弦定理を使う場所を変えるだけです。
4=16+16-2・4・4・cos∠BAC
⇔cos∠BAC=7/8

エオ:15 カ:8
sinからcosを出します。(センターでは不要ですが,∠BACは最も小さい辺の対角なので,sinは正です)
sin2∠BAC=1-cos2∠BAC=15/64
⇔sin∠BAC=(√15)/8

キ:8 クケ:15 コサ:15
この単元で外接円の半径といわれれば確定です。正弦定理より,
R=BC/2sin∠BAC=8/(√15)=(8√15)/15

(1)
仕方ないので一応図でも描きましょうか。
center2014_math1_3a_1.png

シ:8 ス:3
角の二等分線は対辺を角を挟んでいる辺の比に分けます。つまり,AE:EC=BA:BC=2:1よって,AE=2AC/3=8/3

(忘れていたらベクトルで求めちゃってもいいかと。ベクトルはBCとBAの単位ベクトルの中点の定数倍がAC上という条件で求まります。)

セ:2 ソタ:10 チ:3
余弦定理を使います。
BE2=16+64/9-2・4・8/3・7/8=8/9・(18+8-21)=40/9
⇔BE=(2√10)/3

ツ:2 テト:10 ナ:5
ADが角の二等分線なので,AB:AE=BD:DE,よって,BD=BE・3/5=(2√10)/5

(2)ニ:5 ヌ:8
EBC∽EAFであり,相似比はBE:AEなので,面積比はその2乗です。よって,9/40×9/64=5/8

(3)ネ:4
なかなか取り組みにくい問題です。角で攻めろって言うので,円周角が大きいほど対応する弦が長いか,三角形の対角が大きいほど対角が長いかでしょう。

FAとFCはともに円周角が・の角度です。よって等しくなります。
次にFDですが,FDが弦ではないため,FDとFAまたはFCを含む三角形を見つけて角度を整理します。
AFDがぴったりです。FDの対角は×+・であり,FAの対角∠ADFはADBの外角なので,∠DAB+∠DBA=×+・となります。よって,FD=FA=FCです。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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