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横浜市立大学理学系2013年数学第2問
yokoichi_rigaku_2013_q2.png

解説


題意が少し把握しにくい問題です。そんなものはさて置き,(4)のいい解答を募集しておきます。
※(1)で添え字の扱いを間違っていたようで,答が全部違っていました。本当に申し訳ありません。子供のころから問題文読めない子なのは直っていないようです。

(1)
1回目で4枚のカードのうちで2枚の空箱カードを引くことになるので,
2/4=1/2

1回目は空箱じゃない2枚のカードを引いて,2回目で2枚のカードのうちで空箱カードを引くので,
2/4×2/3=1/3

1回目も2回目も空箱じゃないカードを引く確率なので,
2/4×1/3=1/6

(2)
i回目まで引いても箱に入れられないということは,1回目で入らず,2回目で入らず,・・・i回目で入らないということです。p回目で入いることとq回目で入ることは同時に起こらないので,1からすべての入る事象を引いたものが答えになります。
yokoichi_rigaku_2013_a2_4.png
解答で使えといわれているのはi+1以降なので,どうにかできないか考えてみると(テキトーですみません),埋まっている箱はk-1であるため,k回引けば必ず空箱にたどり着けることがわかり,
yokoichi_rigaku_2013_a2_5.png
となります。これをさっきの式の1に代入してやれば,
yokoichi_rigaku_2013_a2_6.png

(3)
(2)を示すべき式に代入してみます。すると,Qの()内が増えるたびにPの()内の開始位置が1ずつずれていくので,Pの()がひとつ大きくなると1回多く足されます。よって,
yokoichi_rigaku_2013_a2_7.png

(4)
kだけ増やす,nだけ増やすと考えても自分には埒があきませんでした。なので,kとnを同時に増やしてみました。Ekを拡張してE(k,n)のようにnも考慮したものを考えます。
とりあえず,E(k,n)の構成要素であるQkは,空き箱カード以外を引き続けるので,
yokoichi_rigaku_2013_a2_8.png
となり,E(k,n)は
yokoichi_rigaku_2013_a2_9.png
さて,どこからともなくですみませんが,E(k+1,n+1)を考えると,
yokoichi_rigaku_2013_a2_10.png
となります。ここで,E(k,n)とE(k+1,n+1)の各項を比較してやると,k/(n+1)をE(k,n)にかけてやるとひとつずれてすべての項が対応していることがわかります。つまり,
yokoichi_rigaku_2013_a2_11.png
ということです。これで大分すっきりして数学的帰納法で攻めることができます(コメントのリンク先やコメントにあるようにE自体を求めることもできます)。

(i)n=1のとき
E(1,1)=Qk(0)=1
これは1回目は必ずボールが入ることからも明らかです。

(ii)
n=m,1≦k≦nにおいて,
yokoichi_rigaku_2013_a2_12.png
が成立していると仮定すると,さっき求めた関係式を使って左辺をE(m+1,k+1)に持っていこうとすると,
yokoichi_rigaku_2013_a2_13.png
となりn=m+1でもE(k,n)≦n/(n-k+1)は2≦k≦nで成立していることが示せます(kは記述をあわせるためにk+1をkに置き換えています)。
示せていないのはk=1のときですが,1回目はnによらず必ず入るので,E(1,n)=1≦n/(n-1+1)=1です。
よって仮定のもとで,n=m+1においてE(k,n)≦n/(n-k+1)は1≦k≦nで成立します。

(i)(ii)より,すべての自然数n,1≦k≦nにおいてもE(k,n)≦n/(n-k+1)は成立します。

(5)
打って変わって,それなりに難しいですがありがちなレベルの問題です。
(4)の大小関係を使っていくのでしょうということで,
yokoichi_rigaku_2013_a2_14.png
であり,kの入った有限の和で示すべき右辺がlogなので積分と長方形による近似でしょう(無限和つまりn→∞だとΣは積分そのものになる区分求積法です)。以下では厳密気味に行きますが,図に描いて積分の下に来るように長方形を描いてやるとわかりよいです。
Σ内がkに対して単調増加なので,k≦x≦k+1において,
yokoichi_rigaku_2013_a2_15.png
です。xについて積分すると
yokoichi_rigaku_2013_a2_16.png

(i)n≧2のとき(k=n-1≧1になるようにしています)
これをk=1からk=n-1まで足してやると(k=nを除いているのは積分が無限になるため,積分で計算しないであとから個別に足す必要があるからです),
yokoichi_rigaku_2013_a2_17.png

(ii)n=1のとき
左辺はE1のみですので,1になり,右辺も1+log1=1で等号が成立します。

よって(i)(ii)より,示すべき式は成立しています。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
参考になりそうなものをあげておきます。
ttp://suseum.jp/gq/question/2153
2014/02/02(日) 19:58:59 | URL | ld #x7j9YsWM [ 編集 ]
ありがとうございます。
そうなんですよ。求めろといわれれば,自分の書いた解答の漸化式でさえ,E(1,n-k+1)=1からはじめれば,即
E(k,n)=(n+1)/(n-k+2)
が推測からの帰納法で導けてしまうんですよね(リンク先の2コメの発想は思いつきもしませんでしたが)。

彼らが特に題意に触れていないということは,単純に(5)で積分の問題を出したかっただけなのでしょうね。さすがにリンク先にあるように出題者が気づいてないというケースはないと思いますけど。それは数学者なめすぎなので。
2014/02/02(日) 23:50:12 | URL | 解説の人 #lVNj0Lv. [ 編集 ]
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