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筑波大学附属駒場中学校2014年算数第4問
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解説


2チームの結果を3チームのときに使えないか,3チームの結果を4チームのときに使えないかと考えていきます。この辺の考え方は去年も出ていましたね。

(1) 最大18点,最小12点
1回の勝負で見ると,勝敗がつく場合とつかない場合しかありません。どちらが点の合計が高くなるかというと,勝敗がつく方が3点で,引き分けは2点です。よって,3点の勝負のみからなる結果が最大で,2点のみからなる結果が最小です。
試合回数は4×3÷2=6なので(自分以外のチームと対戦し,AvsBとBvsAは同じなので半分),最大が3×6=18点,最小が2×3=12点です。

(2)
9点のチームということは全勝です。よって,この段階で他のチームに入っている点は(0,0,0)で,残りの3チームで総当りすることになります。
3チームの総当りがどうなるか見ていくと,最高点が6点,4点,3点,2点の3パターンが考えられます。

(i)最高点が6点
この段階で確定している残りチームの得点は(0,0)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足すと,(6,3,0)と(6,1,1)が得られます。

(ii)最高点が4点
(i)同様に考えると,残りチームの確定した得点は(1,0)です。これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足すと(どちらのチームが1点取っているのか不明なので,(1,0)と(0,1)の両方を考えます),(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1),(4,1,2)となります。最後の二つは同一です。

(iii)最高点が3点
この段階で確定している残りチームの得点は(3,0)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足しますが,(1,1)の方は最高点が3点になりません。よって,(3,3,3)のみです。

(iv)最高点が2点
この段階で確定している残りチームの得点は(1,1)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足しますが,(3,0)の方は最高点が2点になりません。よって,(2,2,2)のみです。

(i)~(iv)より,(6,3,0),(6,1,1),(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1),(3,3,3),(2,2,2)

(3) 12通り
(2)より,9点のチームがある場合には7点のチームはありませんでした。また,9点のチームの1勝を引き分けと交換しても8点は作れないので,7点のチームは最高点のチームです。

(2)同様に考えると,(1,0,0)がこの時点で確定している他の3チームの得点です。さて,(2)では実質的に3チームの総当たり戦の得点を出しているので,これに(1,0,0)を加えてやれば通り数がでます。6を含むものは1を足すと7になるので,それ以外に1を足してカウントすると,12通りになります(同じになるものに注意してください)。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
問題2.3の答えは合っているのですか
小4の息子に応えさせたら問い2の4.2.1の組み合わせは無いと言っております。
問い3は13通りと…
親にはよくわからないものですが、4.3.1と4.2.1が共存するのは… ご確認できますでしょうか?
2014/06/07(土) 19:44:32 | URL | 小4 #- [ 編集 ]
問2
具体的にあげますと,9点ではないチームを順番にABCとします。

(4,2,1)は
AがBに分けて,Cに勝った場合4点
BがAに分けて,Cに分けた場合2点
CがAに負けて,Bに分けた場合1点
となります。

(4,3,1)は
AがBに勝って,Cに分けた場合4点
BがAに負けて,Cに勝った場合3点
CがAに分けて,Bに負けた場合1点
となります。

問3は,解説のやり方に則るならば,問2で求めたものを点数の和で場合わけします(1を加える際に点数の和が同じものは同じ組み合わせが生じる可能性があるため)。
順に9,8,8,8,7,9,6です。

また,同じ和になっているものでも,2以上差があるものは1を足しても一緒にならないので,重なる可能性のあるものは,和が8の(4,4,0),(4,3,1)だけで,そこに注意が必要です。

よって,
(6,3,0)からは2通り(7,3,0は最大が7)
(6,1,1)からは1通り(7,1,1は最大が7)
(4,4,0)からは2通り
(4,3,1)からは2通り(4,4,1は数え済み)
(4,2,1)からは3通り
(3,3,3)からは1通り
(2,2,2)からは1通り
となります。
2014/06/07(土) 21:30:55 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
すみませんありがとうございます!
2014/06/08(日) 23:33:18 | URL | 小4 #- [ 編集 ]
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