ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2011年前期数学第3問
todai_2011_math_q3.png

解説


普通に置換積分していくだけの計算問題だと思います。置換積分に関しては置き方をいくつか試していくしかないのでしょうかね。なんかさくっとする方法があるのでしょうか・・・。

(1)
要は中心が原点で半径がtの円において,x軸から反時計回りにL行った点の座標です。半径×角度(ラジアン)が円弧になるので,
todai_2011_math_a3_1.png

(2)
式どおりに微分していくと
todai_2011_math_a3_2.png
したがって,
todai_2011_math_a3_3.png
√内がめんどくさいので,これの置き換えは次のパターンが考えられます(ぱっと見の可能性であり,簡単にならないものもあります)。
todai_2011_math_a3_4.png
これらのうち,今回は2番目が1番簡単で,
todai_2011_math_a3_5.png
となります(最後の方でやっているのは有理化です)。

(3)
logaで割って極限をとるだけのお仕事です。
todai_2011_math_a3_6.png
(logaは-∞で,分子の-Lloga以外は有限なので-Lです。)

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