ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2011年前期数学第4問
todai_2011_math_q4.png

解説


計算が少し面倒ですが,非常にスタンダードな問題です。αとかβとか言っているのがやさしさで,”そう置いて考えてね”というヒントであるとも言える気がします。軌跡の問題において,軌跡の方程式だけ求めて範囲を求めないケースを良く見るので注意しましょう。

とりあえず。重心Gは,
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となり,α+βとα2+β2の関係が分かればOKです。

QRが底辺の二等辺三角形なので,PQ=PRであり,
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α≠βなので{}内が0です。これからα+βとα2+β2の関係式に変形します({}内は対称式なので,α+βとαβで表して考えるという方法ももちろんあります)。
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α+βとα2+β2をX,Yで表して代入します。
todai_2011_math_a4_4.png
さて,この式のうちでどこまでが条件を満たすか検討します。ここまでの式変換において,αとβが実数で存在するという条件が入っていません。なので,入れていきますが,実数解の条件なので2次式で考えると楽です。つまり,α+βとαβから考えて2次式を立てて,α,βが異なる2つの実数解になる条件で考えるということです。
todai_2011_math_a4_5.png
省略しますが簡単に作図すれば(交点を求めるのが面倒ですけどね),先ほど求めた軌跡の1/6<X<1/2になります。
このときαとβは実数であり,同値変換を逆にたどっていけば,PQ=PRが成立します。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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