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東京大学2011年前期数学第5問
todai_2011_math_q5.png

解説


格子点数え上げの問題で,よくある手法がそのまま使えます。しかし注目すべきはそこではなくて,誘導で出てくるwが,wの値によって排反な事象に分けて考えられるため,数え上げ時にwの値でΣをとっていけば解けてしまうことになるという点です。誘導がない場合もこのようなものを自分で捏造できるようになると大分解ける問題の幅が広がると思います。
格子点の数え上げ方としては,動くもの同士の関係式を求めて条件(不等式)に代入してΣをとっていく方法,領域に落とし込んで視覚化する方法(参考)が有名です。

(1)
w=p-q-(a+b)=-q
⇔a+b=p
⇔b=p-a

です。これをbの条件に入れていくと,

-q≦p-a≦0≦a≦p
⇔p≦a≦p+qかつ0≦a≦p
⇔a=p ∴b=0

となります。0≦c≦pとなり,p+1個のパターンがあります。

同様に考えて行きます。

w=p-q-(a+b)=p
⇔a+b=-q
⇔b=-q-a

です。これをbの条件に入れていくと,

-q≦-q-a≦0≦a≦p
⇔-q≦a≦0かつ0≦a≦p
⇔a=0 ∴b=-q

となります。-q≦c≦0となり,q+1個のパターンがあります。

(2)
(1)同様に行きます。

w=p-p-(a+b)=-p+s
⇔a+b=s-p
⇔b=s-p-a

です。これをbの条件に入れていくと,

-p≦s-p-a≦0≦a≦p
⇔s-p≦a≦sかつ0≦a≦p

となります。ここで,s-pと0の大小関係,sとpの大小関係で場合わけできますが(sの値によって範囲がスライドしていくイメージを持ちましょう),いずれもsとpの大小関係ということです。また,s<0または,s-p>pつまりs>2pのときはaの範囲が存在しなくなります。

(i)p<s≦2pのとき
s-p≦a≦pがaの条件になり,これに対して一意的にb=s-p-aと決まります。よって,
s-p-a≦c≦aであり,可能なcはa-(s-p-a)+1=2a-s+p+1となります。aに対してΣをとります。
todai_2011_math_a5_2.png
Σの変換は中途半端な位置が開始の場合によく使う手法で,今回のようにずらしたり,a=pが初項になるように変換したりするときれいに計算できます。

(ii)0≦s≦pのとき
0≦a≦sがaの条件になり,これに対して一意的にb=s-p-aと決まるので,(i)とcの個数は同じで,Σの範囲が違うだけです。
todai_2011_math_a5_3.png

(i)(ii)より,
todai_2011_math_a5_4.png

(3)
固定したsを動かして和をとります。
todai_2011_math_a5_5.png

【参考】
私はめんどくさいので嫌いなのですが,参考書とかでは図に落として解いているものが多い気がします(赤本さんもこの類ですね)。
aとbの範囲,つまり,-p≦b≦0,0≦a≦pとb=s-p-aを作図して考えてやります。
todai_2011_math_a5_1.png
こうして図にしてs(つまり切片)を動かしていけばどのように格子点がカウントされるのかわかり易いかもしれません。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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