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東京大学2011年前期数学第6問
todai_2011_math_q6.png

解説


(1)と特に(2)の計算と作図が非常にめんどくさく,(2)(3)の表現のされ方が受験生は苦手そうです。このような体積の考え方をマスターしてスムーズに解けるようになるのは結構訓練が必要ではないでしょうか。(2)のめんどくささがなければ良問な気がします。
(3)に関しては高校範囲外な感じの力業でも解いてみました。

(1)
まず普通に最大値と最小値を求めます。範囲指定があるので,軸の位置で場合分けする基本問題です。これをはずしているようでは理1,2も厳しいでしょう。x≠0なのでx,yを定数のようにとらえて平方完成します。また,どうせ使うので境界部の値を求めておきます。
todai_2011_math_a6_3.png
軸の場合わけは境界とその中点です。
(i)軸<0
つまり,
todai_2011_math_a6_4.png
のときです。x>0なので軸からの距離を考えれば,この場合の最大値はf(1),最小値はf(0)である。よって,
f(1)-f(0)=x+y

(ii)0≦軸<1/2
つまり,
todai_2011_math_a6_5.png
のとき,軸を含みt=1の方が遠いので,
todai_2011_math_a6_6.png

(iii)1/2≦軸≦1
つまり,
todai_2011_math_a6_7.png
のとき,軸を含みt=0の方が遠いので,
todai_2011_math_a6_8.png

(iv)軸>1
つまり,
todai_2011_math_a6_9.png
のとき,軸を含まずt=0の方が遠いので,
f(0)-f(1)=-x-y

(i)~(iv)より,
todai_2011_math_a6_10.png

(2)
まず言っている事が何かといえば,zを上手く選べば範囲内の全てのtで成立するということです。zをかえるということはf(t)をf(t)方向に平行移動するだけなので,最大と最小の差が1以内ならずらして条件を満たせるようにできます。つまり,(1)で求めた最大と最小の差に≦1をつけて不等式にします。
todai_2011_math_a6_11.png
図にするためには,まずは交点を求めます。交点を求めるときのポイントは,if部分の境界上で交点をもつということです。
つまり,1番目の領域と2番目の領域はy=0で交点をもち,2番目と3番目はy=-x上で交点を持ちます,また3番目と4番目はy=-2x上で交点を持ちます。これを元に作図すると,次の図の網掛け部分のx=0以外の境界を含む領域です。
todai_2011_math_a6_1.png
いやーくだらない計算の連続であり,作図自体も手だと私には描く自信がありません,何かいい方法があるのでしょうか。作問者にはくだらないことしてんなよと言いたい所です。

(3)
zの範囲として図示していきます。つまり,f(t)が最大になるときにzが最小で(f(t)が最大でもf(t)+z≦1という条件),f(t)が最小のときにzが最大なので(f(t)が最小でもf(t)+z≧0という条件),各領域における不等式は次のようになります。
todai_2011_math_a6_12.png
xを固定して,yz平面を描いて面積を求めます。
todai_2011_math_a6_2.png
平行四辺形の面積1から左下の空白部分を引いたものは
todai_2011_math_a6_13.png
となり,これをx方向に積分すれば
todai_2011_math_a6_14.png

【別解答】多重積分的な考え方(大学生以上向け?)
やっていることは同じです。
(2)で求めた領域のそれぞれの点で,その高さがzの変域の長さになっているということです。zの可能な変域の長さ(wとします)は,[0,1]から(1)で求めた最大最小の差を引いたものになります(最大と最小の差を区間としてとらえて,[0,1]内をどれだけスライドできるかと考えています。)。
あとはこれをx方向とy方向に積み上げていきます。今回はxの範囲が明確なので,まずはy方向に積んで(xを固定して,yw平面の面積,すなわちyz平面の面積を出すということ),その後x方向に積んでいきます。
todai_2011_math_a6_15.png
wを求めて積分します。
todai_2011_math_a6_16.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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