ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学理工学部2014年数学第1問
keio_riko_2014_math_q1.png

解説


(1)
α3+1=(α+1)(α2-α+1)=0であり,α≠-1なので,α2-α+1=0です。
典型問題で,これで割ってやればいいです。
左辺=17α2+58α+17=17(α2-α+1)+(58+17)α+(17-17)=75αです。

(2)
見るからに正弦か余弦です。方法は2通りあって,正弦でACを求めるためにsin∠ABC=sin75°を求めてしまうか,BCを正弦で求めてから余弦でACを求めるかです(別解答)。

まずは半角の公式より,
keio_riko_2014_math_a1_1.png
正弦定理より,
keio_riko_2014_math_a1_2.png

【別解答】
正弦定理より,
keio_riko_2014_math_a1_3.png
余弦定理より,
keio_riko_2014_math_a1_4.png

(3)
n乗とか言っている時点で,何回かかけた場合に規則があると推測できます。まず簡単なYの方ですが,Y=-3Eなので,Yn=(-3)nEです。

さて,次にXの方ですが,とりあえず2回かけてみるか,ハミルトンケーリーでもしてみると,X2=Xを導け,Xn=Xとなります。よって,
与式=3X-5X(-3E)+X(9E)+X(-27E)+(-3)nE
=(-3)nE
ウ:(-3)n エ:0 オ:0 カ:(-3)n

(4)
b>1より,頂点は円の外側です。また,放物線も円もy軸に対称なので,共有点を2つ持つということは,2つとも接している場合になります。これはyの解がひとつと言い換えることができるので,まずはyの方程式にします。
keio_riko_2014_math_a1_5.png
解がひとつなので,判別式D=0です。
keio_riko_2014_math_a1_6.png
また,解は-1<y<1を満たしてなければならないので(=はb≠1より考えない),
keio_riko_2014_math_a1_7.png

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