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慶應大学理工学部2014年数学第2問
keio_riko_2014_math_q2.png

解説


邪魔なものが何なのか,それをどう扱っていけばいいのかを考えられればそんなに難しいものではありません。
今回,邪魔なものは明白で,6の目によるリセットです。この取り扱いが厄介ですが,リセットということは初めから考えるよりも後から考えた方が楽(つまりリセット前に何が出ようが同じです)ということに気づけたかです。

ただ,本問は繰り返し回数が少ないので書き出して答が出てしまった人も多そうです。

(1)
めんどくさいので2回ではなくn回でいきます。リセットが出るということは,それまで積み上げた期待値が0になる,つまり,それまでの期待値分だけ引いてやることになります。よって,期待値をEで表すと,
keio_riko_2014_math_a2_1.png

【別解答】漸化式によらない方法
,リセットじゃなく0点を得られると考えた場合から,最後のリセット位置によって場合分けしてリセットによるロスを引いてやります。
(i)2回目
1/6の確率で1回振った場合の期待値7/6が引かれます。

(ii)1回目
特にロスはないです。ただの0点と一緒。

(iii)リセットなし
ロスはありません。

期待値は1回の試行で7/6だったので,ロスなしルールでは7/3になるはずですが,実際にはロスがあるので,ここからロス分を引いて,7/3-7/36=77/36です。

(2)
余事象である1点以下を求める方が楽です(場合が少ないので)。逆側から考えれば(×が6の目によるリセットでその前は考える意味がありません)
×
×1
の2通りしかありません。
よって,
1-1/6-1/6・1/2=3/4

この結果はn≧2で一般的に成立します。

(3)
パターンを羅列すると組み合わせ的には(目の順番は無視)
1111
×211
×22
の3パターンです。
計算すると
1/16+3・1/6・1/3・1/4+1/6・1/9=53/432

なお,n≧5では初めのものが×1111になるだけです。

(4)
前が偶数か否かによって欲しい点が変わってきます。偶数のときは2点,奇数のときは1点ということで,Pが0を除いた偶数の確率であることに注意すると,0になるのはnでリセット(1/6)なので,
keio_riko_2014_math_a2_2.png
最後でn=0ではなくn=1を代入して一般項を出しているのは,漸化式がn回目におけるのリセットを考えているため,n=0では漸化式が成立していないからです。

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