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慶應大学理工学部2014年数学第3問
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解説


(2)(3)がなければ難しい問題ですが,誘導がかなりわかり易いものであり,見るからに使ってくださいといっているようにしか思えません。

(1)
”ただ一つ解をもつ”。この時点で必要十分ではないけれど,こうだといいなという十分条件はすぐ出てきて欲しいです。
f(x)=x-log(x+e)とでもおいて,考えるべき領域の境界部で正負をまたぎ,領域内で単調であるといういつものパターンです。
f(0)=-1,f(+∞)=+∞であり,f(x)はx>0で連続なので,中間値の定理よりf(x)=0なるxが存在します。
また,f'(x)=1-1/(x+e)>0 ∵x>0 e>1なので,x>0でf(x)=0なるxは一つしかありません。

(2)
”すべての自然数n”=”nについての数学的帰納法してね”,といってしまっても8割ぐらいは当たりです。

(i)n=1のとき
a1=0なので,β>0より,0≦a1<βを満たします。

(ii)
n=kで成立するとすれば,0≦ak<βです。
証明すべきことは2つで,0≦ak+1<βなので,とりあえず,akをak+1にする変換,つまり,漸化式を適用してやります。logxの単調増加性を考えれば,
0≦ak<β
⇔log(0+e)≦log(ak+e)<log(β+e)
⇔1≦ak+1<β ∵β=log(β+e)
よって,0≦ak+1<βが成立します。

(i)(ii)より,全ての自然数nにおいて0≦an<βが成立します。

(3)
左辺が同じ関数の差であり,右辺に関数の変数の差がかかっているので,平均値の定理臭が漂っています。
実際やってみると,
logb-loga=(b-a)/c  (a<c<b)
ここで,0<a<c<bなので,1/c<1/aであり,logb-loga=(b-a)/c<(b-a)/aです。

(4)
流れ的にさっき求めた(3)の不等式を使ってねという問題です。(4)にlogはなく,(3)はlogなので,logを導入します。
左辺=log(β+e)-log(ak+e)
これに(3)を適用すると,
左辺=log(β+e)-log(an+e)<{(β+e)-(an+e)}/(an+e)<(β-an)/e
∵0≦an<β⇒(β-an)>0 and an+e>e

β-a1が正かつ有限で,1/en-1はn→∞で0に収束するので,β-anも0に収束します。よって,anはβに収束します。

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