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慶應大学理工学部2014年数学第4問
keio_riko_2014_math_q4.png

解説


断面を求めて体積を考える典型問題です。今回は大して複雑ではないですが,立体形は必ずしも求めなくても断面さえ求めてしまえばいいということを忘れてはなりません。体積を求めるのが苦手な受験生はやたらと立体を想像したがりますからね。
あとは,積分の微分は楽できる道がないか考える必要があるということぐらいでしょう。

ソ:
0<t≦1なので,OA,OB,OCとz=t平面の交点を求めます(AB,AC,BCはtの範囲外)。順にA',B',C'とでもしておき,z=tになるようにベクトルとして考えてOA,OB,OCを縮小してみると,

A'(t,0,t),B'(0,2t/3,t),C'(0,0,t)

となります。これをz=t平面,つまり,xy平面に平行な平面で考えるので,点A'(t,0),B'(0,2t/3),C'(0,0)のなす三角形の面積ということです。
ただの直角三角形なので,底辺×高さ÷2でt2/3です。

タ:
交点をPとでもすると,適当なkを用いて,

OP=OA+kAB=(1-k,2k,1+2k)

とおけます(ベクトルの→は省略)。z=tなので,t=1+2kです。よって,
keio_riko_2014_math_a4_2.png
となります。

チ:
面積を出すので,他の辺も求めます。OB,OCとの交点は初めに求めたB'とC'と同じなので,ACとの交点(Qとします)を求めます(BCはz=3平面に含まれます)。

OQ=OA+kAC=(1-k,0,1+2k)

とおけるので,
keio_riko_2014_math_a4_3.png
となります。以下のような断面になるので,その面積は
keio_riko_2014_math_a4_1.png
keio_riko_2014_math_a4_4.png

ツ:
体積g(t)は求めたf(z)をz=tからt+2まで積分したものになります。断面積を求めて体積と聞かれている時点で積分をすぐ思い浮かんで欲しいです。
ただ,求めるのがg(t)ではなくその微分なので,積分せずに行きたいところです。
keio_riko_2014_math_a4_5.png
であり,0<t<1,1<t+2<3なので,ソとチより,
keio_riko_2014_math_a4_6.png
g'(t)より,g(t)が最高次が負の三次関数だとわかり,また,-1<0<t,7/9<1なので,t=7/9で最大値を取ることがわかります。
増減表でも書いてください。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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