ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学理工学部2014年数学第5問
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解説


ヌネは円の方程式を書いてしまった受験生も多いようですね。つまり,ナニが少し盲点で,接線を問題文で与えられているせいで逆に気づかなかった人もいそうです。あとは,ハが少し面倒な積分の形なので上手いこと処理できたかで点差が出たのではないでしょうか。

ト:
切り取られる部分から考えます。y軸との交点は当然h(θ)であり,x軸との交点と切り取られる長さは,
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0≦θ≦π/2で傾きが-tanθなので,傾きが負となり,(1,0),(0,1)を連続な線で結ぶには第一象限以外を通ってはダメです(通る点を(s,t)とすると,(x-s)(y-t)<0なる領域に点(s,t)を含んだものになります。本問でいうと0<x,y<1と通る2点を含む領域で,第一象限です。まあヌネのところに範囲が第一象限と書いてありますけどね)。よって,h(θ)=sinθ

ナニ:
まず傾きで等式を作ると,
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接線の方程式を自分で作ると,
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となります。h(θ)部分と傾きの等式の形が似ていますが,微分の有無に違いがありますので,h(θ)を微分してやると,
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ヌネ:
1になるといえばsinとcosの例のやつです。よって,
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ノ:
法線の方程式は,
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よって,交点とその極限は
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ハ:
ただのパラメータ積分をして,めんどくさい形を上手くごまかします。
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sinの次数が高く,cosが1回かかっているわけでもないので,積分する気がしません。とりあえず次数が高いということはそこを一般化して考えてやればいいのではと発想できます。つまり,sinnの積分をInとでもするとn≧2で,
keio_riko_2014_math_a5_9.png
よって,さっきの積分に戻ると,
keio_riko_2014_math_a5_10.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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