ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2014年前期数学第1問
todai_2014_math_q1.png

解説


基礎的な項目をしっかり押さえているか問う感じです。本年においてはずしてはいけない問題です。α+βとtanα+tanβでピンと来ないと普段から形に意識して勉強していないんだなという感じです。
(1)には別解をつけときます。

(1)
平行四辺形になるので(コメント参照),OPに垂直な長さがわかればOKです。つまり,ORとOPのなす角が知りたい感じです。図の通り常識的にxyz軸を取ると(式展開において,出てくる角度のcosもsinもtanも正であることを使っています),
todai_2014_math_a1_1.png

【別解答】外積
todai_2014_math_a1_2.png

(2)
加法定理に求めるのがダイレクトに出てきます。
todai_2014_math_a1_3.png
また,Sの情報からでる等式に代入します(tanαtanβを消す)。
todai_2014_math_a1_4.png
これを使うと,
todai_2014_math_a1_5.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
(1)では平行四辺形となる理由を書かなければ大幅に減点されると思います。大手予備校の出している解答速報の記述も少し雑だとは思いますが、何も言及せずにいきなり平行四辺形であることをいうのはいくらなんでも乱暴すぎです。
2014/02/28(金) 00:46:52 | URL | なしたろう #- [ 編集 ]
そんなもんですかね。
これぐらいなら柱を斜めに切っているからパッと見でいいかと思っていました。
一応案を上げておくのでご確認ください。

【案1】
Pを通るOABCに平行な面を考え,FBとの交点をC'とでもすると,
PC'=AB=OC ①
∠QPC'=β=∠ROC ②
∠QC'P=90°=∠RCO ③
①~③より,⊿PC'Q≡⊿OCR。
よって,PQ=OR ④

同様にRを通るOABCに平行な面を考えると,
RQ=OP ⑤
④⑤より,対辺がそれぞれ等しいので,四角形OPRQは平行四辺形。

【案2】
OQとRPの中点を考えると,高さ方向の成分は不明だが,それ以外の2成分(x,yとします)はQがBに等しく,RがCに等しく,PがAに等しいことから(射影で考えるイメージ),それぞれOBとCAの中点にx,y成分は一致する。
OQとRPの中点が共に面OPQR上になることを考えれば,x,yが同じならばzも一致するので(α,β<90°)QOとRPは互いを二分し,四角形OPQRは平行四辺形となる。

【案3】私が考えたのはこの結果よりです。
任意の形の柱を平面Sで切ることを考えると,柱の高さ方向をz軸,平面とxy平面の交わりをy軸とし,xy平面となす角度をθ(0°≦θ<90°)としても一般性を失わない。
xy平面上に現れる任意の形の図形を表す関数をf(x)とすると,点(x,f(x),0)がその図形だといえます。その点の真上にあるS上の点では(x,f(x),xtanθ)となる。
これをy軸まわりに-θだけまわしてxy平面上に落とすことを考える。要するにy軸からの距離になるので,x座標の2乗とz座標の2乗を足してルート。これはx/cosθになるので,xy平面に落としたものは(x/cosθ,f(x),0)となり,x軸方向に伸張した図形になることがわかる。
よって,四角形OPQRも正方形を特定方向に定数倍したものになり,対辺に対する伸張の操作は同じものになるので,伸張後も平行になり,平行四辺形になる。

ってな感じでどうでしょうか。
2014/02/28(金) 04:13:45 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
初めまして。
四角形OPQRが平行四辺形であることの説明は、
「OP,PQ,QR,ROは同一平面上にあり、
平面OAED//平面CBFGよりOP//RQ
同様にOR//PQで、2組の対辺が平行だから。」
で十分かと思いますが、いかがですかね?
あと、この問題に平行四辺形であることの厳密な証明が要求されるとは思えませんね(^^;)
2014/06/15(日) 20:13:36 | URL | スルメ #- [ 編集 ]
はじめまして。

そうですね。
そちらの方がさっぱりしていいですね。

ただ,ある程度自明なものをどこまで書けばいいかは満点を狙う上で肝になってくるのは事実ではあるんですよね。
大学教授の採点に対する個人的な印象では,こういうものより,同値記号のミスとかに厳しい印象だったりしますが,実際のところどうなんでしょうかね。
2014/06/16(月) 00:00:05 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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