ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2014年前期数学第4問
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解説


最典型のセオリーだけではいまいち上手くいかないため,本年度では難しい問題です。

(1)
セオリー通りいくと,f(0)とf(1)を調べて単調増加といきますが,単調増加にはならず困ってしまいます。
こういうときは求めるのが容易で,かつ,求めたい関数の不等式の間に入る関数を考えます(この関数が出てくるのはf(x)を微分したもののpが変に残ってしまって邪魔な辺りから考える感じでしょうか)。
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これにセオリーを当てはめていきます。
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あとはf(x)>0ですが,
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より自明でしょう。

(2)
単調減少な数列だと楽なので,まずはそれから検討します。(1)よりn=0で(0,1)に含まれているので,全てのnで(0,1)に入ります。差をとってみると,
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右辺をh(x)とでも置いてセオリーを使います(添え字ごとxとしています)。
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となり,nについて単調減少かつh(x)≧(p-q)xとなります。h(x)が何かといえば減少具合であり,これをxで割ると減少率が出ます。添え字も添えて計算すると,
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(3)
解の存在なので差をとった関数h(x)が単調関数で正も負の符号も取るというのがセオリーです。でもh(x)ってh(0)=0で負にならないですね。なのでとりあえず微分を考えてみて,これが負になるといいなという感じです。
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これに0を入れると,
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となります。h'(x)が連続関数であることを考慮すれば,x=0の近傍ではh'(x)<0です。よって,ある微小な正の数δをとれば,
todai_2014_math_a4_9.png
となりh(x)の連続性から中間値の定理によって,0<δ<c<1なるcで等号が成立します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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