ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2014年前期数学第5問
todai_2014_math_q5.png

解説


整数論のありがちな手法でとけるありがちな問題です。ただ受験生にとってありがちかというと,整数の問題は通常のカリキュラムでは余り詳しく触れないため,頓挫してしまった人も多くいそうです。上のほうの進学校は鳩ノ巣とかやるし(麻布の生徒は中3時の学校のプリントに書いてありました。),有利だったかもしれませんね。

(1)
当たり前ですけど証明しなきゃダメなのね。ということで,あまりとくれば,pk+余りみたいに整数kを用いて置いてやります。定義より,
todai_2014_math_a5_1.png

(2)
(1)を使って順番に求めていきます。重要なのはある連続する2つのbがそれぞれ同じになれば,次のものも同じになることです。以下ではmod pとします
todai_2014_math_a5_2.png
となり,2,3,9を延々と繰り返していきます。よって,順番に
2,3,9,2,3,9,2,3,9,2

(3)
与えられたものからいきましょう。
todai_2014_math_a5_3.png
最後のは余りは割る数より小さいってやつですね。

(4)
(2)の繰り返しが布石になっていて鳩の巣原理な問題です(n個の箱にn+1の鳩を入れるとどうあがいても二羽入る箱ができます)。今回の場合,直前の2つのbによって決まるので,この組み合わせが(p-1)2しかないため,nを大きくしていくと,いつかは同じ組み合わせが出現します。
つまり,
todai_2014_math_a5_4.png
なる相異なるkとmが存在するということになります。すると,(3)によって,
todai_2014_math_a5_5.png
となり,次々にたどっていくことになります。これをkとmのうちで小さいほうが1になるまで繰り返していけば,b1がn≧2のどれかと一致することになり,割り切れないことがわかります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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