ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2014年前期数学第6問
todai_2014_math_q6.png

解説


題意がとらえ切れていない受験生や場合分けで計算が回らなくなってしまう受験生が出ていそうな感じで,本年では一番難しいのではないでしょうか。とりあえずいわれている通りやっていき,存在の場合は解を持つ云々に結びつける基本を忘れないことです。

(1)
OPとOQを次のように表し,条件を明確にします。
todai_2014_math_a6_2.png
直線PQを求めて,(s,t)を代入し,そのようなqが1≦q≦2で存在する条件を求めます。
todai_2014_math_a6_3.png

条件としてはこの左辺をf(q)とでもすれば,
(i) f(1)f(2)≦0 もしくは (ii) 1≦軸≦2 かつ D≧0 かつ (f(1)≧0またはf(2)≧0) かつ (iii)sがPよりy軸内側 となります。

(i)f(1)f(2)≦0 
計算すると,
todai_2014_math_a6_4.png

(ii) 1≦軸≦2 かつ D≧0 かつ (f(1)≧0またはf(2)≧0)
(ii-i)1≦軸≦2
todai_2014_math_a6_5.png

(ii-ii)D≧0
todai_2014_math_a6_6.png

(ii-iii)f(1)≧0またはf(2)≧0
todai_2014_math_a6_7.png

(ii-i)~(ii-iii)より,
todai_2014_math_a6_8.png

(iii)sがPよりy軸内側
要するにt≧s√3を満たしていなければ線分の外側になってしまいます。

(i)(ii)(iii)を合算するに当たって,境界部分を比較すると,
todai_2014_math_a6_9.png
よって,
todai_2014_math_a6_10.png

(2)
めんどくさいですが(1)を図にして対称性からy軸で折り返します。交点はx=1だったので(境界部の比較の際に求まっています)
todai_2014_math_a6_1.png
(境界部を含む)

でもこれ,手書きだとかける自信ないんだけども・・・

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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