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慶應大学理工学部2013年数学第1問
keio_riko_1q.png
簡単めだと思います。難関大受験生ならば誘導無で3x2+2xy+3y2=12と出されても解けて欲しい問題です。

解答

解法のポイント
  • ax2+bxy+cy2=dは回転した二次曲線になる
  • x,y座標からs,t座標への変換はx,yをs,tで表して代入する

打つのがめんどいのでcosθ=c、sinθ=sとする。Pは逆行列を持つのでkeio_riko_1a-1.png
ここで、α<βより2csは負でなければならないため 3π/4がアになる。この時の値を代入すると2cs=-1になるので、α=2、β=4となる(イ、ウ)。

このとき、
keio_riko_1a-2.png
3x2+2xy+3y2=12に代入して、
keio_riko_1a-3.png
よって、12で割ればよいのでエは6、オは3となる。

単なる回転で2点間の距離に変化はないのでs,t座標で見てもOK、よって、長軸√6、短軸√3の楕円における2点の距離が最大になるときなので、(s,t)=(√6,0)と(-√6,0)のときで最大値2√6をとる(カ)。
x,yに戻してやるので、(x,y)=(-√3, √3),(√3,-√3)となる(キ、ク)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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