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東京大学2014年前期物理第1問
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解説


比較的スタンダードであり,本年においてとりやすい大問ではないでしょうか。ただ,(6)(7)あたりを上手く考えられるかで差が出そうです。(5/2追記:(3)のcosが-1/2となるtを間違えていました。ご指摘いただいたneu様ありがとうございます。そして皆様ごめんなさい。)

(1)
つまり,釣り合っているということなので,
todai_2014_phy_a1_1.png

(2)
釣り合いの位置を中心に単振動をするので,水平面に飛び出るということは振幅が釣り合いの位置より大きくなければなりません。
todai_2014_phy_a1_2.png

(3)
端から単振動を開始して,中心を過ぎて位置が振幅の半分の位置に来ているということです。cos始動の単振動で考えれば,
todai_2014_phy_a1_3.png
単振動の角振動数ωはmとkにのみ依存するので,
todai_2014_phy_a1_4.png

(4)(5)
まあ,単振動でそのときの速さといわれれば,エネルギー保存則です(釣り合いの位置で考えていますが,自然長の方が早いです。重力の位置エネルギーを考えたくない癖があるのでこっちでいっています。A2-B2の(A+B)(A-B)使えばどうにかなりますし)。
todai_2014_phy_a1_5.png
次に先にsを求めてしまいます。vのθに対する単調減少性だけでも言える気がしますが,vがsにどのように関わってくるかがいえないと気持ち悪いので。
頂点に達するまでの時間t2をvを水平と鉛直に分解して鉛直速度=0から出し,それを2倍した時間だけ水平に進みます。よって,
todai_2014_phy_a1_6.png
sin2θはθ=45°で対称ですが,()内は0≦θ≦90°で単調減少です。よって,45度よりも小さい角度で最大になります。

(6)(多分sinとcosの単調性を利用して適当に代入するほうが早いですけどなんか嫌なので)
(7)も考慮して微分してから代入してやります。例によってsinはs表記です。因数分解ではs=1が極値もしくは変曲点ぽいのでそれを代入してみています。
todai_2014_phy_a1_7.png
さて,この概数を求めます。表の数値が細かいので,精度良くいきます。
todai_2014_phy_a1_8.png
よって25°です。

(7)
(6)の”∴”において,4cos2θの係数が大きくなるということです。つまり,cos2θが0ではない限りこの項がいくらでも大きくなるため,sの微分は0になりません。よって,cos2θが小さくなるように,θは45°に近づきます。

【別解答】
sのカッコ内において,sinθの項を無視できるようになるので,sin2θの最大と一致します。よって,θ=45°

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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2015/06/21(日) 23:29:05 | | # [ 編集 ]
(5)というよりは(4)の話だと思います。
最後の式の()内は正かつ単調減少です。またsin2θは45°で対称です。sin2θが同じ値になるθのうち小さい方をα,大きい方をβとすると,0°≦α≦45°≦β≦90°となります。αを()に入れたものはβを()に入れたものより大きいので,αを入れた方が最大値になります。
2015/06/22(月) 00:41:38 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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