ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2014年前期数学第3問
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解説


基本問題ですが小骨があるので,近年の腑抜けた京大数学だと中の下程度の難易度でしょうか。小骨というのは,途中式をきれいに変換できるか,cosθ=tなどと置き換えて最大や最小を考える問題で,θとcosθの増加が逆なのを忘れないかというあたりのことです。

まず,図に描くまでもなく,この分野の三角形の面積といえばsinを使ったアレなので,2辺とその挟む角のsinが知りたいです。辺の長さといえば正弦か余弦です。この場合は∠Aと対辺のBCが分かっているので正弦が楽です(というか計算も正弦の方が楽なので高優先度です)。
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また,∠Cの角度も∠Aで表せるので面積Sは(途中から∠Bにしているのはcos∠Bを求めろといわれているからです。)
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まず,三角形になる範囲かチェックします。0<∠B<2π/3なので-1/2<cos∠B<1を満たすか考えます。
kyodai_2014_math_a3_3.png
さて,ここでS'はcosの2次関数なので,極大になるのは変数を増加させた場合に導関数が正から負に変わるほうであり,一見すると±の-の方に思われるかもしれませんが,dcos∠B/d∠Bが負なので,cosは負向きに変化させねばなりません。よって,cos∠Bの負向きの変化によって正から負になる+の方が極大であり,0<∠B<π/3に置ける唯一の極値なのでこれが答えです(c=cos∠BとしてS'を∠Bで微分することを考えれば,dS'/dc・dc/d∠Bとなり,dS'/dcに基づく符号の判定,つまりcと置き換えた場合の符号判定とは正負が逆になるということです)。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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