ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2014年前期数学第4問
kyodai_2014_math_q4.png

解説


ポイントとなるところは2点だと思います。要するにどういうことなのかが把握できるかどうか,分数関数の取り扱いに慣れているのかというところです(慣れていない私は微分して極大極小をとるxが気持ち悪くなった段階まで行って引き返しました)。

まず,本問で言っていることは,xを色々変えるとf(x)がある範囲になり,そのf(x)の範囲のすべてのf(x)が条件を満たすということです。そしてそうなるa,bの範囲を求めるということになります。

後ろから行く方が楽なことが多いので(前から攻めると余計なことをしてしまう場合が多くなる気がします),f(x)の条件を求めます。
kyodai_2014_math_a4_2.png
となります。あとは全てのxでf(x)がこの範囲にくるようにa,bを考えます。f(x)は分数関数なので,まずすべきことは不連続点を洗うことです。
kyodai_2014_math_a4_3.png
より,f(x)に不連続点はありません。よって,さっき求めた区間の両方に属するということはあってはなりません(例えば,f(x)=0なるxとf(x)=3なるxが存在した場合,連続性から中間値の定理よって,f(x)=3/2なるxが存在してしまいます)。

なので,適当なxを入れてどちらの区間に入りそうか考えることになりますが,a,bによって変わってきてしまうので難しそうです。しかしこれまた分数関数なので,limをとった場合に収束する値は分母と分子の次数の違いから簡単に求まりそうです。
kyodai_2014_math_a4_4.png
なので,-1≦f(x)≦1にすべてのf(x)が入らないといけないことになり,
kyodai_2014_math_a4_5.png
図にすると次の境界部分を含むです(交点書くの忘れましたが)。
kyodai_2014_math_a4_1.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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