ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2014年前期数学第5問
kyodai_2014_math_q5.png

解説


割り切れるとかいう整数問題の解法は因数分解して因数の振り分けが基本です。これをしっかり忠実に守れば普通に解けてしまう問題ですが,この普通が結構苦手な人は多く,もしかしたら難しいという評価を下している予備校とかがあるかもしれません。

81で割れるというので因数分解します。

kyodai_2014_math_a5_1.png

この右辺が81で割れるということは,パターンとして因数分解した左側=(a+b)が81で割れる,81で割れないが27で割れる,27で割れるが9で割れる,9で割れないが3で割れる,3で割れない。という場合が考えられます。この際に因数分解の右側の3で割れ具合も検討することになります。(a+b)の割られ具合は場合分けしているため分かっており,右側部分も(a+b)を利用して割られ具合を考えてやると便利です。よって,

kyodai_2014_math_a5_2.png

として考えていきます。右側の3abが9で割れない3の倍数であるため(∵a,bはともに3で割れない),右側全体はa+bが3の倍数のときは9で割れない3の倍数,a+bが3で割れない場合は3で割れなくなってしまいます。
このことからa+bは27で割れなければいけません。そしてそのときは右側が3の倍数になるためOKです(結局場合分ける必要すらなくなりました)。

a+b=27kですが(kは整数),a+b=27がもっともa2+b2が小さくなります(全てのa+b=27kなるa,bに対してをa,bから合計27(k-1)引いてやれば,a+b=27になるa,bに対応させることができます。当然前者のa,bは後者以上なので,a2+b2も大きくなります)。また,a+b=27ならば,
kyodai_2014_math_a5_3.png
となり,27/2に最も近い自然数aで最小になります。よって,(a,b)=(13,14),(14,13)であり,このときa2+b2=365です。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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