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京都大学2014年前期数学第6問
kyodai_2014_math_q6.png

解説


角度を上手く把握でき,積分も上手くできれば計算量が変わってきます。もし上手くできなくてもやっていることはただの積分なので,計算量は増えますが,数学としての難易度は並な感じです。

まず対称性をチェックすると,どちらの直線もx=yに対して対称です。交わる2点のうちで,x=yより下側のものをAとしても問題に変化はありません。A(a,1/a)とすると,lの傾きは,-1/a2です。一方,OAの方は1/a2となります。この時点で,対称性に気づければ一方の傾きにマイナスをかけたものなので,x軸となす角もマイナスをかけたものになっています。つまり,1/a2はtan(π/12)ということになります(これに気づかなければtanの加法定理からaを求めることができますが,π/12と気づきにくいです)。
よって,円の半径をb,としてC1とともに極座標として考えれば(原点からC1への距離をrとします),
kyodai_2014_math_a6_1.png
積分を計算すると,
kyodai_2014_math_a6_2.png
半径bを求めます。
kyodai_2014_math_a6_3.png
以上から,
kyodai_2014_math_a6_4.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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