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東京大学2014年後期総合科目II第2問A
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解説


総合科目2でも頻出の微分方程式の応用問題です。微積に抵抗がなければ大した問題ではないといえます。抵抗がある人はA-4あたりで完全に詰む問題ですけどね。

(A-1)
図2-1の側面の面積を求めます。側面の扇形の中心角をΦとでもして,
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ここから高さ1-hの円錐部分を引けばいいので(面積なので比は2乗),
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(A-2)
変数分離形といわれる典型的な微分方程式の解法で,設問に解き方まで載せてもらっているのでただ積分するだけの問題です。形的に高校数学の要領に則って置換積分でいけとのことなので,
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初期条件を入れて積分定数Cを求めます。
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(A-3)
一定の紫外線が当たっているだけなので,n(0)=N(1)なだけで,さらにKがK|cosθ|になるだけです(照射面積が斜めになっている分1/|cosθ|倍になっているためです。)。cosθはθが側面と底面のなす角にもなっているので(側面から垂線を引いて直角三角形でも作ってください),
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(A-4)
微小な高さdhごとに円錐を切って,その帯ごとに(A-3)を適用してやります。その際にその帯びにはdN(h)個いて,光の強さはKをK(1-h)に変えてやることになるので(一つ目の”=”の後から考えた方がわかり易いですが,初めのは参考までに),
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注:途中で積分の方向を逆にしています(u=1-hと置き換えている感じですね)。
尚,分母に0があり,問題文に”t=0”とか書いてあるので,一応t=0を定義すると,N(1)になります。

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