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東京大学2014年後期総合科目II第2問B
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解説


アキレスとカメの追いつけない的な問題です。追いつけない状況を把握できることは前提としても,B-3とB-4は少し難易度が高めです。整数問題,数列,積分と幅広い分野の考えが必要になっています。

(B-1)
θ=π/3なので,sinθよりcosθの方が小さいため,横方向に1の位置のABよりも縦方向に1の位置にあるBCにまず到達します。BCに到達する条件は,有限時間内にBCに到達するとも言い換えられるので,縦方向の速度を無限時間まで積分したら余裕を持って(≧ではなく>)到達できるという条件になります。
todai_2014_sogo2_4a-3.png

(B-2)
ABがtanθ=√3よりも小さいので,BC→AB→ADという具合になります。コツコツやるのはさすがに面倒なので,一般化した距離と初速で考えて見ます。距離がkで初速がvだとすると,到達条件と到達時の速度v'は,
todai_2014_sogo2_4a-4.png

となります。順に適用していくために,各壁にぶつかるまでの距離を求めると,反射は折り返して考えると楽なので,下図で考えます。
todai_2014_sogo2_4a-1.png
todai_2014_sogo2_4a-5-1.png
となります。v'=v-kとなるようにRから順にたどっていけば,
todai_2014_sogo2_4a-5.png

(B-3)
簡単に図にすると(m分の1は省略),
todai_2014_sogo2_4a-2.png
となります。AB上とCD上の点を一般項で表してみると,
todai_2014_sogo2_4a-6.png
よって,(4k-3)/mが整数(mが4で割ると1余る)になるならばBに到達し,(4k-1)/mが整数(mが4で割ると3余る)になるならばCに到達します(そしてそこで止まるため,A,Bには達しません)。それ以外の場合はmが偶数の時ですが,この場合にはBCの中点を通ります(ABとBCの中点を結んだ直線状にくる場合が2kもしくは2k+2になるので)。BCの中点を通れば対称性からその後にADの中点を通ることになり,無限ループとなりA,Bには達しません。よって,AまたはBに達するのはBに達する,mが4で割ると1余る場合のみです。
したがって,最小はm=5となります。

(B-4)
(B-3)の議論から,mが4で割ると1余るもののみです。(B-2)の考え方より,次の壁にぶつかる時の速度は,今の壁から出る速度から次の壁までの距離を引いたものになり,跳ね返る際に1/2になるので,n回目に壁に到達する速度をvnのようにしてやれば,
todai_2014_sogo2_4a-7.png
これが0より大きければ,n回目の壁に有限時間で到達可能です。
todai_2014_sogo2_4a-8.png
最後にcosθとnを求めると(mの方は1回目の衝突までだけが違うので,1回目の衝突から考えて1を足しています。高さ方向のm-1を2で割って+1です。),
todai_2014_sogo2_4a-9.png
ただし,mは4で割って1余る2以上の整数。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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