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大阪大学2014年数学第1問
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解説


ベクトルの問題はベクトルで行くか成分でいくかですが,本問では座標が与えられているので座標で行く方が簡単そうです。また,式を単純に恒等式として処理してやるだけで,連立方程式の解の話はそこらじゅうの問題集に載っているのではないでしょうか。

成分ごとに等式を立てれば,
handai_2014_math_1a_1.png
となり,この連立方程式の解s,tが存在する条件ということになります。

(i)2つの方程式の少なくとも一方が直線ではない場合
s,tの係数がともに0の場合は直線になりませんが,第1式ではe=0でなければならず(ii-i)と自明な解をもちます。第2式が0になる場合はb=d=0であり,この場合は第2式のs,tは任意なので,無数の解を持つことになります。

(ii)2つの方程式がともに直線の場合
(ii-i)自明な解
e=0の場合は自明な解(0,0)が存在します。

(ii-ii)一意的な解を持つ場合(2直線が平行ではない場合)
行列表記で考えれば(係数の比で考えても,連立方程式を解いても同じです),逆行列を持つ場合(ad-bc≠0)は一意的な解を持ちます。

(ii-iii)一致する場合
逆行列を持たない場合も(ad-bc=0)二直線が重なる場合は解が無数に存在しますが,その場合はe=0でなければ切片が異なってしまいます。e=0は(ii-i)で述べたように一致以前に自明な解を持ちます。

よって,b=d=0またはe=0またはad-bc≠0です。

【別解答】もう少しベクトル風味を残して
(I)自明な解
OCがゼロベクトル,つまりe=0のときはs=t=0を自明な解として持ちます。

(II)左辺の2ベクトルが1次独立(どんな係数をかけて足しても0にはならない)の場合
同一直線状ではないので平面上の全てのベクトルを表せてます(s,tを動かしたときに左辺の範囲がどうなるか考えればいいでしょう。例えばs+t=1なら直線AB上の全ての点へのベクトルです。s+tの値を適当にかえれ直線の集合,すなわち面を作れます)。
a,bの少なくとも一方が非ゼロ,かつ,c,dの少なくとも一方が非ゼロ,かつ,a:b≠c:d⇒bc≠ad

(III)左辺の2ベクトルが1次従属(1次独立ではない)の場合
直線OAもしくはOB上の点しか左辺は表せないので,Cもその直線上にある必要があります。つまり,b=d=0

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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