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大阪大学2014年数学第3問
handai_2014_math_3q.png

解説


形と聞き方から解き方が推定できてしまう問題です。数が多い場合は,繰り返しや数列(nによる一般化),極限などが考えられ,整数部分ということは整数部分までしか分からないという近似の問題ではないかという気もします。

繰り返しで考えたところで余りきれいになりそうにありません(√の整数部分はさて置き,Σをとっている以上小数部分の和も関連してきてしまいますが,√の小数部分は無理数なので繰り返しにならなそうです。)他の手段で級数の近似といえば,級数を積分で表してあげるアレです。

単調減少関数である1/√xの下側と上側にΣが来るように積分範囲を決めて比較してやれば,
handai_2014_math_3a_1.png
左辺は2がかかっているので,40001のルートを1/2の精度で求める必要があります。
handai_2014_math_3a_2.png
あれ?398<Σ<400となるので,答が398と399のどちらかまでは絞れなくなってしまいました。こういう時は近似の精度を上げてあげるのが定番です。積分による近似が粗いのは0を含む右辺の方なので,初めの1/√1=1の部分を積分ではなく別に計算してやります。
handai_2014_math_3a_3.png
よって,398<Σ<399となるので,398が答えです。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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