ひたすら受験問題を解説していくブログ
大阪大学2014年数学第4問
handai_2014_math_4q.png

解説


図形がイメージできてしまえばなんてことはない問題です。もし3次元でイメージしにくいようならば,一旦は2次元で考えてみてその条件を3次元に移し変えてやるといいと思います。

(1)
2次元でイメージする場合には当然ながら2次元では再現できない条件があります。そういう場合はその条件を無視してもいいです。本問では条件アと条件イを同時に満たすものは再現できませんので,とりあえずアだけで図を作ってやると(イのみで作ると数珠状に並んだ円達になります。どちらから攻めてもいいですし,片方では3次元のものを思い浮かびにくければ両方から攻めてもいいでしょう),
handai_2014_math_4a_7.png

中心の条件は2次元で直線,正確には点で表せるので,3次元では平面,正確には,回転体になること(2次元上の円と球の関係であり,上図を3次元に対応させるのはS同士を結んだ直線で回転です)を考えるとT系統の中心は2次元の点が3次元では円周に対応します。順番にT同士が接するようにしていけば条件イを満たせることになります。
このとき,下図のように条件となる円周上に接する多角形の頂点に存在することになります。
handai_2014_math_4a_8.png
Tの中心が存在する円の半径は三平方の定理より,
handai_2014_math_4a_1.png
となり,これとT系統が接するという事実と半径の関係から,
handai_2014_math_4a_2.png

(2)
こういう単純な回転体はパップスギュルると早いです。回転で重心が動く距離×回転するものの面積なので,
handai_2014_math_4a_3.png
球の和も求めてlimを取ると,
handai_2014_math_4a_4.png

【別解答】積分で回転体の体積を求める場合
半径rでaだけ離れた円の体積は,円の方程式が,
handai_2014_math_4a_5.png
となるので,体積は円の外側の曲線をxo,内側の曲線をxiとしてやれば,
handai_2014_math_4a_6.png
注:積分が半円になっていることを使っています。また最後はaとrを本問のものを代入しています。

大阪大学2014年数学に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/435-afb5da10
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック